구 부피 삼중적분 - gu bupi samjungjeogbun

어떠한 이중적분의 값을 구하려고 할 때,

적분하려는 영역의 식을 극방정식으로 나타내면  

직교방정식으로 나타낸 것보다 식이 간단해지는 경우가 있습니다.

그럴때 이중적분을 극좌표로 치환하면

비교적 덜 복잡한 계산과정으로 이중적분의 값을 구할수 있습니다.

마찬가지로 적분하려는 공간의 식을 구면좌표계의 방정식으로 나타냈을 경우

직교방정식으로 나타낸 것보다 식이 간단해진다면

삼중적분을 구면좌표계로 치환해서 그 값을 비교적 간단하게 구할수 있습니다.

구면좌표계에서 삼중적분의 값을 구하기 위해서는

먼저, 다음 영역에서의 삼중적분을 새롭게 정의할 필요가 있습니다.

계산 편의상, 음의 반지름이 나오는 것을 제외시키고 

1바퀴를 초과해서 움직이지 않도록 하기 위해서  

위의 집합 E가 나타내는 영역을

구 모양의 쐐기(Spherical Wedge) 라고 부릅니다.

항상 하던대로 집합 E가 나타내는 영역에서

구간

구간

구간

라고 하면 m×n×p 등분된 하나의 구 모양의 쐐기는

이렇게 표현 가능합니다.

그리고 각각 m,n,p등분된 구간의 길이를

라고 하고, 구 모양의 쐐기 내부의 임의의 점을

한편, m×n×p 등분된 구 모양의 쐐기는

그림으로 나타내면 다음과 같습니다.

삼중적분을 정의할때 항상 하던것 중의 하나가

등분된 공간의 부피를 구하는 작업이었듯이

구면좌표계에서 삼중적분을 정의하기 위해서는

위 그림에 있는 구 모양의 쐐기의 부피를 구할 필요가 있습니다.  

그런데 구 모양의 쐐기의 부피를 구하는 과정은 생각보다 간단하지 않습니다.

그러므로 부피 구하는 과정을 잘 보시길 바랍니다.

구 모양의 쐐기를 얻는 방법은 다음과 같습니다.

아래 그림에서 빨갛게 색칠된 부채꼴의 일부를 x축을 기준으로 회전시키면

구 모양의 쐐기를 포함한 입체와 같은 모양의 회전체가 나옵니다.

그리고 구 모양의 쐐기는 위 영역을 회전시켜서 얻은 회전체 전체의 공간 중에서  

빨간 영역을 회전시켜서 얻은 회전체의 부피에다가

가장 먼저 다음 그림과 같이

중심이 원점이고 반지름의 길이가

z축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가

콘 아이스크림처럼 생긴 입체의 부피를 구해보겠습니다.

위 입체는 원뿔과 구가 만나서 생기는 입체입니다.

그러므로 조금만 생각해보면 위 입체의 부피는

아래 그림에 있는 부채꼴을 x축을 기준으로 회전시키면 얻을수 있는

회전체의 부피와 같다는걸 알수 있습니다.

회전시키면 원뿔이 나오게 됩니다.

따라서 경계선이 초록색 직선인 구간에서의 회전체의 부피는

반지름이

그 원뿔의 부피를

이렇게 나옵니다.

그리고 나머지 구간

회전체의 부피를 

그러므로 콘 아이스크림처럼 생긴 입체의 부피를

그 부피는 다음과 같습니다.

따라서 아래 그림처럼

z축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가

반지름이 각각

위 그림에서 색칠된 부분의 부피를

방금전에 구한 아이스크림 콘의 부피의 값

이것을 이용해서

위에서 구한 z축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가

반지름이 각각

아래 그림에서 노란색으로 색칠된 부채꼴의 일부를 x축을 기준으로

회전시켜서 얻을수 있는 회전체와 같은 모양의 입체입니다.

한편, 아래 그림처럼 z축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가

반지름이 각각

위 입체의 부피를

위 입체는 기존의 

그리고 위 입체는 아래 그림에서 주황색으로 색칠된 부채꼴의 일부를

x축을 기준으로 회전시키면 나오는 회전체와 같은 모양의 입체입니다.

그러므로 구 모양의 쐐기를 포함하고 있는 입체의 부피는 다음과 같습니다.

그림으로 나타내면 아래 그림과 같은 모양입니다.

저의 그림실력이 부족했고, 그림판의 한계로 인해

구 모양의 쐐기를 포함하는 입체와는 거리가 먼 입체가 그려지게 되었는데

처음에 말했듯이 구 모양의 쐐기를 포함하는 입체는

아래 그림에서 빨갛게 색칠된 부채꼴의 일부를

x축을 기준으로 회전시킨 회전체와 같은 모양의 입체입니다.

그러므로 구 모양의 쐐기는 주어진 회전체의 전체의 공간에서

구 모양의 쐐기의 부피를

이렇게 나옵니다.

처음에 밑첨자를 i,j,k로 정했으므로 알맞게 바꾸면

입니다.

여기서

f(x)와 g(x)는 모든 실수에 대해서 미분 가능한 함수이므로

평균값의 정리에 의하여 다음 등식을 만족하는

그러므로 구 모양의 쐐기의 부피는

다음과 같이 쓸수 있습니다.

한편, m×n×p 등분한 구 모양의 쐐기

직교좌표계로 나타내면 다음과 같습니다.

그러므로 함숫값은

이렇게 됩니다.  

그러므로 함숫값과 구 모양의 쐐기의 부피를 곱한 아래의 값에 대해서

이 값을 모두 더한 값의 극한을 나타내면 다음과 같습니다.

따라서 삼중적분의 정의에 의해

위 무한급수는 다음과 같은 삼중적분으로 나타낼수 있습니다.

정리하면 다음과 같습니다.

－구면좌표계에서의 삼중적분－

삼변수 함수 f(x,y,z)가 구 모양의 쐐기

한편, 보다 일반적인 공간인

위와 같은 E에 대해서도 구면좌표계에서 삼중적분을 할수 있습니다.

그러므로 삼중적분의 구면좌표 치환은 다음과 같이 하면 됩니다.  

－삼중적분의 구면좌표 치환－

직교좌표계의 공간 D가 구면좌표계에서

이 때,

이것은

ex1) 집합 B가 반지름이 1인 구의 내부와 경계를 나타낼 때

(풀이)

주어진 공간은 구면좌표계로 나타내면 다음과 같다.

따라서

이다.

ex2) 집합 E가 원추곡면

구

주어진 공간의 부피를 삼중적분을 이용해서 구하시오.

(풀이)

주어진 공간은 그림으로 나타내면 아래와 같다.

따라서

주어진 공간을 보면 원점과의 거리가 0부터

z축을 중심으로 한바퀴를 모두 돌수 있다.  

그리고 z축과의 양의 방향과 이루는 각의 크기는 0부터

따라서 주어진 공간을 구면좌표계에서 나타내면 다음과 같다.

따라서 주어진 공간의 부피는 다음과 같다.

내용출처 : Calculus 6E－James Stewart