원기둥의 겉넓이 공식 6학년 - wongidung-ui geotneolb-i gongsig 6hagnyeon

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입체도형의 부피와 겉넓이에 대해 알아봅시다 원기둥을 하나 그려 볼게요 원기둥의 윗부분이고 이것은 높이입니다 이것은 원기둥의 밑부분이에요 원기둥의 뒷부분도 그려 줄게요 음료수 캔 모양같죠? 원기둥의 높이를 h라고 합시다 h = 8 ㎝입니다 원기둥 윗부분의 반지름 r이 4 ㎝일 때 원기둥의 부피는 얼마일까요? 전에 풀었던 문제와 같은 방법으로 풀 수 있어요 윗면의 넓이와 높이를 알면 부피를 구할 수 있어요 먼저 원기둥 윗면의 넓이를 구해야 합니다 그 넓이를 높이와 곱하면 부피를 구할 수 있어요 원기둥 윗면의 넓이의 단위는 ㎠입니다 여기에 단위가 ㎝인 높이를 곱하면 부피의 단위는 ㎤가 될 거예요 원기둥 윗면의 넓이는 원 넓이를 구하는 것과 같아요 원을 한번 그려 볼게요 이 원의 반지름은 4 ㎝입니다 이 원의 넓이는 얼마일까요? 원의 넓이는 πr²이므로 π × (4 ㎝)²가 되겠죠 4² = 16이고 여기에 π를 곱하면 16π가 되겠죠 단위는 ㎠가 되므로 16π ㎠입니다 이것이 원기둥 윗면의 넓이입니다 원기둥의 부피는 윗면의 넓이 × 높이예요 따라서 부피는 윗면의 넓이 16π ㎠와 높이 8 ㎝의 곱인 16π ㎠ × 8 ㎝입니다 곱셈을 할 때 결합법칙을 사용하면 식을 재배열 할 수 있어요 곱셈을 할 때 계산 순서는 상관 없으므로 먼저 16 × 8을 계산해 봅시다 8 × 8 = 64이고 16 × 8은 이것의 두 배이므로 16 × 8 = 128입니다 π를 붙여줘야겠죠? 단위는 ㎠ × ㎝ = ㎤이므로 부피는 128π ㎤가 됩니다 π(파이)는 불규칙하게 계속되는 소수예요 3.14159... 이렇게 무한하게 뻗어나갑니다 그러므로 그냥 π라고 나타냅니다 이를 약 3.14로 두고 계산할 수도 있어요 π를 3.14로 두고 계산하면 3.14 × 128이므로 약 400 ㎤가 되겠네요 원기둥의 겉넓이는 어떻게 구할 수 있을까요? 원기둥의 윗면과 아랫면은 겉넓이의 한 부분입니다 원기둥의 윗면인 이 부분과 원기둥의 아랫면인 이 부분도 겉넓이에 포함되죠 그러므로 원기둥의 겉넓이를 구할 때는 윗면과 아랫면의 넓이도 더해줘야 합니다 윗면과 아랫면의 넓이는 16π ㎠에 2를 곱해주면 되겠죠 윗면과 아랫면의 넓이는 모두 16π ㎠이기 때문입니다 그러므로 윗면과 아랫면의 넓이는 2 × 16π ㎠입니다 이 넓이는 음료수 캔의 윗면과 아랫면의 넓이가 되겠죠 이제 옆면의 넓이를 구해 봅시다 옆면을 포장지로 두른다고 생각해 보세요 점선을 따라 옆면을 잘라 펼쳐본다면 어떻게 될까요? 옆면을 펼치면 사각형처럼 생겼을 거예요 이 부분의 길이는 이 길이와 같습니다 완전히 펼쳤을 때 양 끝 부분은 서로 맞닿아 있던 부분입니다 다른 색으로 표시해 볼게요 이 두 변은 원기둥에서 맞닿아있던 부분이에요 이 부분에서 서로 만나죠 그러므로 양 끝 변의 길이는 원기둥의 높이와 같습니다 따라서 이 변은 8 ㎝이고 이 변도 8 ㎝일 거예요 그렇다면 이 변의 길이는 얼마일까요? 이 변의 길이는 원기둥의 둘레와 같습니다 원기둥의 둘레는 원기둥의 윗면과 아랫면의 원주와 같습니다 원주를 구해 봅시다 이 원의 원주는 윗면의 원주와 같을 거예요 원주는 2 × r × π 또는 2πr이므로 윗면의 원주는 2π × 4 ㎝ = 8π ㎝입니다 따라서 이 변의 길이는 원기둥의 윗면 또는 아랫면의 원주와 같은 8π ㎝입니다 옆면의 겉넓이를 구하려면 옆면을 펼친 사각형의 넓이를 구하면 되겠죠 따라서 옆면의 넓이는 8 ㎝ × 8π ㎝입니다 이를 계산하면 64π ㎠가 되죠 원기둥 전체의 겉넓이는 원기둥의 윗면, 아랫면과 옆면의 넓이를 더해주면 됩니다 윗면과 아랫면의 넓이 2 × 16π ㎠에 옆면의 넓이 64π ㎠를 더해 봅시다 2 × 16π ㎠ + 64π ㎠를 계산해 봅시다 2 × 16π ㎠ = 32π ㎠이므로 32π ㎠ + 64π ㎠가 되겠죠 32 + 64 = 96이므로 96π ㎠가 됩니다 따라서 원기둥의 겉넓이는 96π ㎠입니다 π를 3.14로 계산해주면 300 ㎠를 조금 넘겠네요 겉넓이의 단위는 ㎠였습니다 겉넓이는 평면도형의 넓이이기 때문이죠 원기둥의 겉넓이에 단위정사각형이 얼마나 들어가는지 생각해 보는 거예요 부피의 단위는 ㎤였죠? 부피는 원기둥 안에 들어갈 수 있는 단위정육면체의 개수를 구하는 것이기 때문입니다 이때 단위정육면체는 가로, 세로, 높이가 각각 1 ㎝인 정육면체입니다 끝났습니다

수업준비

[교사 준비물]

1. A4용지 3장, 흰색2장, 노란색 1장, A4보다 큰 노란색 종이

2. 

[학생 준비물]

1.

2.

수업목표 "원의 넓이 유도공식을 활용해 원기둥의 겉넓이를 구할 수 있다."

1. 6학년 담임은 수학을 가르치다가 두번의 위기를 맞는다.

 (1) 먼저, 비와 비율에서

 (2) 그리고 원의 넓이와 원기둥의 겉넓이에서 ㅠ_ㅠ

 (3) 나는 원기둥의 겉넓이를 가르치다 원의 넓이를 구하는 (1학기때 배움) 부분에서부터 막힌 아이들에게 화가 났다

 (4) 여러번을 설명해도 원기둥의 겉넓이는 'hell' 이라고 외치는 우리반 새싹이들 (미안하다!)

2. 무엇이 그렇게 어렵니?

 (1) 원기둥의 겉넓이는 "원의 넓이 2개" + "옆면의 넓이" 로 간단한데, 식으로 바꾸면 만만치 않다

(반지름 x 반지름 x 원주율 x 2) + (지름 X 원주율 X높이) 

 (2) 곱하기와 더하기가 난무하다보니 계산능력이 부족한 새싹들은 좌절...

3. 방법을 바꿔보자.

일반 A4종이 두장을 붙여서 옆면을 만들고

노란색 1장은 반을 나누어 그림처럼 준비한다.

중요한 점은 A4의 반을 나눈 길이 만큼을 '반지름'으로 하여 원 두개를 만드는 것이다.

원리는 간단하다.

  (1) 1학기에 원의 넓이를 유도하는 과정에서 원의 넓이= 반지름 X  원주의 1/2 임을 배웠다.

 (2) 그러므로, 원을 직사각형으로 바꿀 수 있다.

그러므로 원기둥의 겉넓이는 직사각형의 넓이로 바꿀 수 있고

(반지름 + 높이)  X  원주

로 공식을 유도할 수 있다.

반지름이 3cm, 높이가 4cm 원주율이 3 인 원기둥의 겉넓이는

( 3 + 4 ) X 6 X 3

로 간단히 계산할 수 있다.

기존의 공식과 새로 유도된 공식을 차례로 풀어보면서 

차이점을 생각하고, 더 쉬운 방법을 택하도록 하였다.

평가, 되짚어보기

- 당연히 새로 배운 방법을 선호하였다.

- 계산 시간 및 실수를 줄이는 효과가 있었다.

- 그러나 처음에는 교과서에 제시된 방법을 배워서 공식 유도의 원리를 알 수 있도록 해야 한다.