Sec(x 적분) - Sec(x jeogbun)

10장은 secx와 cosecx(이하 cscx)를 적분해 보려고 합니다. 

그런데 제목에서 "치환적분을 이용한" 이라고 써놨는데 그럴만한 이유가 있죠.

대부분의 책에 sec의 적분에 대해서 아래와 같이

풀이를 하고 있습니다. (제 책 또한 마찬가지고요.)

사실 위의 방법은 알고만 있다면

매우 간편하게 secx를 적분 할 수 있는 편리한 방법인지만

알기가 어렵습니다.

분모 위 아래에 secx+tanx라는 다소 복잡한 형태의 식을 곱해줘야 하는데 사실 이 방법을 외우느니

답을 외우는게 편할지도 모릅니다....

(즉 상당히 고차원적인 풀이 법이죠)

서론이 길어 졌는데

그런 이유로 이번 포스팅에서는 기존의 방식보다는 다소 계산과정이 길지만

상당히 저차원적인(?) 방법을 이용하여 sec및 csc를 적분해 보겠습니다.

먼저 이해를 돕기 위해 무턱대고 치환하는 풀이 방식을 통해 계산에 실패하는 케이스를 보고자 합니다.

(이것을 보고나서 이후 풀이를 보면 다소 이해가 쉬워집니다.)

secx가 cosx의 역수이기 때문에

여기서 아무런 과정 없이 cosx를 w로 치환해 보겠습니다

그러면

반대과정을 생각해보면

이것을 통해 cos이나 sin을 치환 시 반대편의 항이 존재하지 않는다면

치환적분이 진행되지 않는다는 것을 알 수 있습니다.

위에서 했던 시행착오를 통해 문제점을 알았으니 이제 문제점을 해결해야겠죠?

해결방법은 cos만으로 이루어진

바꾸는 법은 간단합니다. 분모에 있는 cos을 분모와 분자에 곱해주면 됩니다.

그러면 이렇게 되는데

여기서

그래도 어디서 튀어나왔는지 모를 secx+tanx보다

식에서 저희 눈으로 직접 볼 수 있는 cos을 이용하는 것이니 원래 방법보단 쉽다고 생각 합니다.

그러면 이제 

여기서

여기서 1-w를 미분하면 -1이고 1+w를 미분하면 1이기 때문에 3장에서 다루었던

3장 f '(x)/f(x) 형태의 적분=> http://blog.naver.com/leesu52/90173242298

공식을 이용하여 풀어보면

가 됩니다. 이제 역치환을 해보면

가 되어 루트가 사라지게 됩니다. 여기서 조금만 더 정리를 해주면

가 나오게 됩니다.

cscx의 경우sin의 역수이기 때문에 위와 마찬가지로 sin을 분모 분자에 곱해주어 계산하면 되며

계산과정은 아래에 접어 놓겠습니다. (많이 길어질거 같아서요 ㅋㅋㅋ)

두 가지 경우 모두 계산 과정이 길고 복잡해 보이지만

정석적인 방법과 비교를 해보면 기억하기엔 오히려 쉬운 방법이라고 생각해요(필자 기준으로)

(그래서 이 방식으로 포스팅 했는데 보시는 분들은 어떨련지 모르겠습니다.)

그래도 나름 정성껏 쓴거니 "이렇게 긴 풀이방식 따위 필요 없어"라든가

"길기만하고 진짜 비효율 적이네 ...." 같은 댓글만 남기지 말아주세요 ㅋㅋㅋㅋㅋ

예제 하나 풀어보고 마칠게요

앞의 항은 치환적분으로 뒤에 항은 공식에 의해 바로 계산이 될 수 있습니다.

앞의 항만

가 되며 t를 역 치환 하면 최종적으로

가 나오게 됩니다.

요약

1.

2.

10장 포스팅 끝