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가 되는데, 양변을 eee로 나누면
이 되고, eee를 0으로 취급하면 4c3=04c^3 =04c3=0이 되어 c=0c=0c=0으로 구할 수 있는 것이다.[1] 또한, 뉴턴은 시간에 따라 변화하는 양의 순간변화율을 구하기 위해 무한소 ο\omicronο을 도입한 유율법을 고안하였다. 여기서 뉴턴은 '시간에 따라 변화하는 양'을 유량(fluent, fluxio)', 순간변화율을 '유율(fluxion)'이라 불렀다. y=(t+2)(t−2)y=(t+2)(t-2)y=(t+2)(t−2)이라는 유량에 대하여 t=1t=1t=1일 때의 유율은 다음과 같이 계산할 수 있다.
다만, 페르마의 "adequality"에서든지, 뉴턴의 "fluxion"에서든지, 000은 아니지만 아주 작고, 또 가끔은 000으로 취급해버리는 무한소라는 게 도대체 무엇인지 큰 논란이 생길 수밖에 없었다. 그렇게 미적분의 맹점이 몇 가지 발견되면서 비판이 나왔고, 특히 롤의 정리를 발견한 미셸 롤과 철학자 조지 버클리가 맹렬히 비판했는데, 특히 버클리는 '사라진 값들의 유령(the ghosts of departed quantities)'이라는 표현까지 빌려와 신랄하게 까내렸다. 유율법의 자세한 개념과 역사에 대해서는 유율법을 참고하라. 그러다가 19세기 수학자 오귀스탱 루이 코시가 본문에서 말하는 엡실론-델타(ε−δ\varepsilon - \deltaε−δ) 논법을 꺼내들었다.[2] 그야말로 철저하고 빈틈없는 정의로, 이해만 하면 극한은 물론이고 다른 극한용 정리의 증명까지 쉽게 만들어 버릴 수 있었으며 더 나아가 이 새로운 정의로 인해 해석학이라는 분야가 등장했다. 3. 정의[편집]먼저, 엡실론-델타 논법을 사용해 새로 쓴 극한의 정의를 보자. 열린 구간 DDD에 대하여 limx→af(x)=L ⟺ def∀ε>0, ∃δ>0 s.t. ∀x∈D,(0<∣x−a∣<δ⇒∣f(x)−L∣<ε)\displaystyle \begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \rightarrow a}{ f (x ) } = L \overset{\mathsf{def}}{\iff} & \forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0\ \ {\sf s.t.}\ \forall x\in D , ( 0 < | x - a | < \delta \Rightarrow | f ( x ) - L | < \varepsilon ) \end{aligned}x→alimf(x)=L⟺def∀ε>0, ∃δ>0 s.t. ∀x∈D,(0<∣x−a∣<δ⇒∣f(x)−L∣<ε)
함수 f(x)f(x)f(x)가 존재할 때, 임의의 양수 εεε만큼 주어진[3] 치역 범위 ∣f(x)−L∣<ε|f(x)-L|<ε∣f(x)−L∣<ε[4] 안에 공역을 온전히 대응시킬 수 있는 해당 정의역 0<∣x−a∣<δ0<|x-a|<δ0<∣x−a∣<δ[5] 및 정의역 범위 δδδ가 εεε값과 무관하게 항상 존재한다면, x→ax \to ax→a일 때 함수 f(x)f ( x )f(x)의 극한값을 LLL이라고 정의한다. 이때, 함수 f(x)f ( x )f(x) 는 x→ax \rightarrow ax→a에서 LLL에 수렴한다고 하며,
로 표현한다. 3.1. 설명 1[편집]임의의 양수 ε\varepsilonε에 대하여 적당한 양수 δ(=δ(ε))\delta(=\delta(\varepsilon))δ(=δ(ε))가 존재하여 0<∣x−a∣<δ⇒∣f(x)−L∣<ε0 < | x - a | < \delta \Rightarrow | f ( x ) - L | < \varepsilon0<∣x−a∣<δ⇒∣f(x)−L∣<ε가 될 때,
limx→af(x)=L\displaystyle \lim_{ x \rightarrow a }{ f ( x ) } = Lx→alimf(x)=L 이라는 것은 양수 ε\varepsilonε이 아무리 작아도 그에 따라 적당한 양수 δ(=δ(ε))\delta(=\delta(\varepsilon))δ(=δ(ε))가 존재하여, xxx와 aaa의 거리가 δ\deltaδ보다 작고 000보다 크기만 하면 항상 f(x)f(x)f(x)와 LLL의 거리가 ε\varepsilonε보다 작게 된다는 뜻이다.
limx→af(x)=L\displaystyle \lim_{ x \rightarrow a }{ f ( x ) } = Lx→alimf(x)=L 이라는 것은 어떠한 양수 ε\varepsilonε이 주어지더라도 어떠한 양수 δ(=δ(ε))\delta(=\delta(\varepsilon))δ(=δ(ε))가 있어서 aaa와 같지 않은 xxx가 a−δa-\deltaa−δ와 a+δa+\deltaa+δ 사이에 있는 값이라면 f(x)∈(L−ε, L+ε)f(x)\in(L-\varepsilon,\,L+\varepsilon)f(x)∈(L−ε,L+ε)라는 뜻이다.
이때, 갑이 뭘 말하든간에 을이 항상 대답할 수 있으면 극한값이 존재하는 것이다. 반대로, 단 한 번이라도 을이 대답할 수 없는 경우가 생기면 극한값은 존재하지 않는 것이다. 3.2. 설명 2[9][편집]극한의 애매한 설명 xxx가 aaa에 한없이 가까울 때, f(x)f\left(x\right)f(x)의 값도 LLL에 한없이 가깝다. 여기에서 '한없이 가깝다'가 수학적으로는 의미가 명확하지 않으니, 잘 정의되도록 해야 한다.
양수 ε\varepsilonε의 값이 무엇이든 간에, xxx가 aaa에 한없이 가까우면 ∣f(x)−L∣<ε\left| f \left( x \right) - L \right| < \varepsilon∣f(x)−L∣<ε이다. 'xxx가 aaa에 한없이 가까우면'도 기준 δ>0\delta > 0δ>0를 선언해서 위와 비슷한 방식으로 바꿀 수 있다. 하지만 f(x)f\left(x\right)f(x)가 LLL에 가까워지고 멀어지는 것은 f(x)f\left(x\right)f(x)의 성질과 ε\varepsilonε의 선택에 달려 있기 때문에, δ\deltaδ는 먼저 선언된 ε\varepsilonε을 무시할 수 없다. 따라서 ε\varepsilonε에 따른 δ\deltaδ를 적당히 잡을 수 있다면 최종 문장은 아래와 같다. 임의의 실수 ε>0\varepsilon > 0ε>0에 대해, 적당한 실수 δ>0\delta > 0δ>0가 존재하고, 0<∣x−a∣<δ0 < \left| x - a \right| < \delta0<∣x−a∣<δ이면 ∣f(x)−L∣<ε\left| f \left( x \right) - L\right|< \varepsilon∣f(x)−L∣<ε이다. 이는 처음에 소개된 정의와 일치한다. 3.3. 상극한·하극한을 통한 이해[편집]이 설명은 극한의 '공식'을 제시함으로써 엡실론-델타를 유도해내는 데에 초점을 맞춘다. 이 개념을 소개하려면 다음 상한, 하한 개념이 필요하다. (따라서 이 접근은 실수의 완비성 공리를 통해 극한을 정의하는 접근에 해당한다.) 실수의 공집합 아닌 부분집합 ∅≠X⊂R\varnothing\neq X \subset \mathbb{R}∅=X⊂R에 대해,
sup0<∣x−a∣<δf(x)=sup{f(x)∣0<∣x−a∣<δ},inf0<∣x−a∣<δf(x)=inf{f(x)∣0<∣x−a∣<δ}.\displaystyle \begin{aligned} \displaystyle \sup_{0<|x-a|<\delta}{ f(x ) } & = \sup\{f(x) \mid 0<|x-a|<\delta\}, \\ \displaystyle \inf_{0<|x-a|<\delta}{f(x)} & = \inf\{f(x)\mid 0<|x-a|<\delta\}. \end{aligned}0<∣x−a∣<δsupf(x)0<∣x−a∣<δinff(x)=sup{f(x)∣0<∣x−a∣<δ},=inf{f(x)∣0<∣x−a∣<δ}.
극한 limx→af(x)\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)x→alimf(x)이 LLL과 같다는 말은 위의 두 극한 후보가 값 LLL과 같다는 말이다. 즉,
극한 limx→af(x)=L\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=Lx→alimf(x)=L이 있다고 하고, 양수 ϵ>0\epsilon>0ϵ>0를 잡자. 그러면 LLL이 Mδ,mδM_\delta,m_\deltaMδ,mδ의 각각 하한, 상한이므로, L+ϵ,L−ϵL+\epsilon,L-\epsilonL+ϵ,L−ϵ은 각각 Mδ,mδM_\delta,m_\deltaMδ,mδ의 하한('최소치'), 상한('최대치')이 될 수 없다. 때문에 Mδ1<L+ϵ,mδ2>L−ϵM_{\delta_1}<L+\epsilon,m_{\delta_2}>L-\epsilonMδ1<L+ϵ,mδ2>L−ϵ인 양수 δ1,δ2>0\delta_1,\delta_2>0δ1,δ2>0를 잡을 수 있다. 3.4. 그래프를 통한 이해[편집]디리클레 함수나 y=sin(x−1)y=\sin{(x^{-1})}y=sin(x−1)처럼 그래프를 그릴 수 없는 함수도 있지만, 여기서는 간단한 예시를 통해 엡실론-델타 논법을 이해해보자. 3.5. 변형[편집]3.5.1. 좌극한과 우극한[편집]함수 f(x)f(x)f(x)에 대하여 xxx가 aaa보다 작은 값을 가지면서 aaa에 다가가는 극한을 좌극한이라 하고, 다음과 같이 표기한다.
좌극한은 아래와 같이 정의된다. limx→a−f(x)=L\displaystyle \lim_{ x \rightarrow a^{-} }{ f ( x ) } = Lx→a−limf(x)=L은 임의의 ε>0\varepsilon>0ε>0에 대하여
이 성립하는 δ>0\delta>0δ>0이 존재할 때 정의된다.
우극한은 아래와 같이 정의된다. limx→a+f(x)=L\displaystyle \lim_{ x \rightarrow a^{+} }{ f ( x ) } = Lx→a+limf(x)=L은 임의의 ε>0\varepsilon>0ε>0에 대하여
이 성립하는 δ>0\delta>0δ>0이 존재할 때 정의된다. 3.5.2. 무한[편집]xxx가 발산하는 경우에 대해서도 극한을 정의할 수 있다.
라는 식으로, 간단히 xxx가 끝없이 커지거나 작아질 때, f(x)f(x)f(x)는 LLL에 접근한다는 것이다. 이 경우에는 다음과 같이 극한을 정의할 수 있다. limx→∞f(x)=L\displaystyle \lim_{ x \rightarrow \infty }{ f ( x ) } = Lx→∞limf(x)=L은 임의의 ε>0\varepsilon>0ε>0에 대하여 임의의 M>0M>0M>0이 존재해서
이 성립하는 것으로 정의한다. limx→−∞f(x)=L\displaystyle \lim_{ x \rightarrow -\infty }{ f ( x ) } = Lx→−∞limf(x)=L은 임의의 ε>0\varepsilon>0ε>0에 대하여 임의의 M>0M>0M>0이 존재해서
이 성립하는 것으로 정의한다.
이 경우 아래와 같이 정의된다. limx→af(x)=∞\displaystyle \lim_{ x \rightarrow a }{ f ( x ) } = \inftyx→alimf(x)=∞은 임의의 M>0M>0M>0에 대하여 임의의 δ>0\delta>0δ>0가 존재해서
이 성립하는 것으로 정의한다. limx→af(x)=−∞\displaystyle \lim_{ x \rightarrow a }{ f ( x ) } = -\inftyx→alimf(x)=−∞은 임의의 M>0M>0M>0에 대하여 임의의 δ>0\delta>0δ>0가 존재해서
이 성립하는 것으로 정의한다.
이 경우 아래와 같이 정의된다. limx→∞f(x)=∞\displaystyle \lim_{ x \rightarrow \infty }{ f ( x ) } = \inftyx→∞limf(x)=∞은 임의의 M>0M>0M>0에 대하여
을 만족시키는 K>0K>0K>0이 존재할 때 정의된다. limx→∞f(x)=−∞\displaystyle \lim_{ x \rightarrow \infty }{ f ( x ) } = -\inftyx→∞limf(x)=−∞은 임의의 M>0M>0M>0에 대하여
을 만족시키는 K>0K>0K>0이 존재할 때 정의된다. limx→−∞f(x)=∞\displaystyle \lim_{ x \rightarrow -\infty }{ f ( x ) } = \inftyx→−∞limf(x)=∞은 임의의 M>0M>0M>0에 대하여
을 만족시키는 K>0K>0K>0이 존재할 때 정의된다. limx→−∞f(x)=−∞\displaystyle \lim_{ x \rightarrow -\infty }{ f ( x ) } = -\inftyx→−∞limf(x)=−∞은 임의의 M>0M>0M>0에 대하여
을 만족시키는 K>0K>0K>0이 존재할 때 정의된다. 3.6. 예제[편집][문제] 엡실론-델타 논법을 사용하여 limx→3(2x−1)=5\displaystyle \lim_{x\to 3}{(2x-1)}=5x→3lim(2x−1)=5임을 보이시오.
임의의 적당한 양수 ε\varepsilonε이 존재하여
이 되게 하는 양수 δ\deltaδ를 찾자.
이고,
따라서
로 놓으면 충분하다. 따라서 임의의 양수 ε\varepsilonε에 대하여 위의 결과를 사용하면 0<∣x−3∣<δ0<|x-3|<\delta0<∣x−3∣<δ일 때
로
임을 알 수 있다. 이를 일반화해서 a≠0a\neq0a=0일 때
a=0a=0a=0일 때 δ\deltaδ를 임의의 양수로 잡으면 임의의 실수 aaa, bbb에 대하여
가 성립함을 알 수 있다. 4. 확장[편집]4.1. 이변수함수에서의 정의[편집]다변수함수의 일종인 이변수함수의 극한은 lim(x, y)→(a, b)f(x, y)=L\displaystyle \lim_{( x,\, y )\rightarrow ( a,\, b )}{f ( x,\, y )} = L(x,y)→(a,b)limf(x,y)=L로 쓴다. 대략적인 뜻은 (x, y)( x,\, y )(x,y)가 한없이 (a, b)( a,\, b )(a,b)에 가까워질 때 f(x, y)f ( x,\, y )f(x,y)가 한없이 LLL에 가까워진다는 뜻이다. 이변수 함수 fff는 중심이 (a, b)(a,\, b )(a,b)인 원의 내부에서 정의된다고 하자. 이때
이란 임의의 ε>0\varepsilon > 0ε>0에 대하여 적당한 δ>0\delta > 0δ>0가 존재하여
이 성립한다는 의미이다. 이때 LLL을 (x, y)=(a, b)( x,\, y)= ( a,\, b )(x,y)=(a,b)에서의 극한값이라 부른다. 4.2. 복소함수의 극한[편집]복소수 자체가 이미 실수부와 허수부의 두 성분이 있기 때문에 본질적으로 이변수함수의 극한과 동일하다. 어떤 복소수 z0z_0z0로 향하는 경로는 무한히 많기 때문에 이로 인해 복소함수는 실함수와는 다른 독특한 성질을 가진다. 모든 ε>0\varepsilon > 0ε>0에 대하여, 적당한 δ>0\delta > 0δ>0가 존재하여,
이면,
로 정의한다. 4.3. 거리 공간에서의 정의[편집]두 거리 공간 (X, dX)(X, \, d_X)(X,dX), (Y, dY)(Y,\, d_Y)(Y,dY)이 있을 때, 함수 f: X→Yf:\, X\to Yf:X→Y의 극한은 다음과 같이 정의한다.(a∈X, L∈Ya\in X, \,L\in Ya∈X,L∈Y) 임의의 ε>0\varepsilon > 0ε>0에 대해 δ>0\delta > 0δ>0가 존재하여 dX(x, a)<δd_X (x, \, a)<\deltadX(x,a)<δ인 모든 x∈Xx\in Xx∈X에 대해
일 때
로 정의한다.
5. 문제 풀이 팁[편집]수렴하는 극한을 보이는 경우에 적절하게 델타를 잡아서 부등식 ∣f(x)−L∣<ϵ|f(x)-L|<\epsilon∣f(x)−L∣<ϵ을 만족시키는지 보여야 하므로, 부등식에 대한 이해가 필요하다. 다음과 같은 방법들을 사용하자.
6. 기타[편집]
[1] 물론 미분가능한 함수의 미분계수가 000인 점은 극점일 필요조건일 뿐이지 충분조건은 아니므로, 이게 진짜 극점인지는 확인이 필요하다.[2] 사실 코시 이전에 베르나르트 볼차노와 카를 바이어슈트라스가 먼저 이 정의를 제안했다.[3] 임의의 양수이므로 0.0000001이나 1/99999999999999 같은 무지막지하게 작은 수들도 εεε에 들어갈 수 있다.[4] 즉, L−ε<f(x)<L+εL-ε<f(x)<L+εL−ε<f(x)<L+ε[5] 우극한일땐 a<x<a+δa<x<a+δa<x<a+δ, 좌극한일땐 a−δ<x<aa-δ<x<aa−δ<x<a[6] δ\deltaδ가 ε\varepsilonε에 관한 함수라는 뜻. y=f(x)y=f(x)y=f(x)와 같은 뜻의 표기이다,[7] 엡실론과 델타 둘 다 임의의 양수이기 때문에 '거리'라는 표현을 쓸 수 있다.[8] 즉,임의의 δ\deltaδ값에 대하여 적당한 ε(=ε(δ))\varepsilon(=\varepsilon(\delta))ε(=ε(δ))값을 생각하면 안 된다는 말이다.[9] 출처[10] 무한대도 셀 수 있는 무한이 있고 셀 수 없는 무한이 있다. 그중 양수는 셀 수 없는 무한에 해당한다.[11] 이변수함수의 엡실론-델타 논법 같은 경우 자주 나오는 패턴.[12] 작은 구간의 원소는 당연히 그 구간을 포함하는 더 큰 구간의 원소도 되기 때문.[13] 이때 δ\deltaδ의 개수는 반드시 유한하여야 한다. 양수 무한 개의 하한은 0일 수 있기 때문이다.[14] 1 대신 1보다 작은 양수도 가능[15] δ\deltaδ를 구하는 것[16] 채점자는 δ\deltaδ를 어떻게 구했는지는 관심이 없다. 구한 δ\deltaδ가 엡실론-델타 논법을 만족시키는지만이 관심 사항이다.[17] 이는 '대체 왜 대학생들에게 기초수학(미적분, 행렬) 따위를 가르쳐야 하느냐'는 한탄이 함께 이어지는 주요한 레파토리 중 하나이다. 다만 그 어디에도 엡실론-델타 논법을 고교과정에서 다루는 나라는 없다는 게 함정.[18] 특히 문과 전공 대학생들이 여러가지 이유로 인해 이과 전공 대상의 대학수학을 들을때 가장 먼저 포강이 마려워지는 1차 위기 시점이다. 특히 수학과 전공 수업의 경우엔 자세한 설명도 없이 스킵하고 넘어가는 경우가 태반이기 때문에 포강 기간 이후 빈자리가 늘어나는걸 흔히 볼 수 있며, 이걸 교수님도 잘 알고 있기 때문에 혹시나 타과생이 수강신청 했을 경우 안쓰러운 눈빛으로 쳐다보는 모습을 간간히 볼 수 있다. 그나마 친절한 교수님들은 수강변경 기간동안 다른 과 수업으로 바꿀것을 추천하는 경우도 있지만, 언제나 호기로운 학생들은 있기 마련이다. |