비판정법(比判定法, ratio test) 또는 비율판정법(比率判定法)은 궁극적으로 0이 아닌 실, 복소항 급수의 수렴 여부를 항비의 극한을 통해 판정하는 방법이다. 장 르 롱 달랑베르가 처음으로 출간하였다. 달랑베르 판정법(d'Alembert's ratio test), 코시 비율판정법(Cauchy ratio test)으로도 불린다.[1] Show 내용[편집]실수 또는 복소수 항의 급수 에 대하여, an ≠ 0 이 충분히 큰 임의의 n에 대해 성립하고, 극한 이 존재하는 경우, L이 존재하지 않는 경우 상극한과 하극한을 사용할 수도 있다. L = 1인 급수의 수렴성 판정을 위해 판정법을 확충할 수도 있다. 즉 이라 두었을 때,[2][3] 극한 L이 존재할 때 L = R = r이므로 뒤의 방법은 앞의 방법을 포함한다. 예[편집]수렴급수[편집]양항급수 은 비판정법에 의해 수렴한다: 발산급수[편집]양항급수 은 비판정법에 의해 발산한다: 판정 불가[편집]아래 급수들은 각기 다른 수렴성을 지니며, L = 1이라서 첫 번째 방법으로는 수렴성을 단정짓지 못 한다. 그러나 의 경우 확충한 판정법의 세 번째 항목에 의해 발산한다는 것을 알 수 있다. 아래에 소개된 여러 판정법은 L = 1을 비롯한 비판정법이 소용없는 경우에 쓰일 수 있다. 증명[편집]r > 1 일 때, 충분히 큰 임의의 n에 대해 |an+1| > |an| 이어서 0으로 수렴하지 않는다. 고로 급수 는 발산한다. 아래 둘은 R < 1 일 때의 증명이다. R < 1 이면, R < q < 1인 q를 취했을 때, 가 임의의 n ≥ m에 대해 성립하는 자연수 m이 존재한다. 그러므로 임의의 n ≥ m에 대해 |an| < qn-m|am|이 성립한다. 우변이 기하급수로서 수렴하므로 비교판정법에 의해 급수 도 수렴한다. 근판정법과의 관계[편집]비판정법은 근판정법보다 약한 판정법이다. 비판정법이 유효한 모든 급수는 근판정법을 이용해서도 판정 가능하다. 부등식 이 성립함에 따라 이 있기 때문이다. 다음은 세 번째 부등식의 증명[4]이다. 첫 번째 부등식의 증명은 비슷하고, 두 번째는 자명하다. 임의의 c > R을 취했을 때, 임의의 n ≥ m에 대해 가 성립하는 자연수 m이 존재한다. 따라서 |an| < cn-m|am|, 즉 이 임의의 n ≥ m에게 성립한다. 양변에 상극한을 취하면 을 얻어 세 번째 부등식이 증명된다. 라베 판정법[편집]라베 판정법(Raabe's test, 요제프 루트비히 라베)은 다음과 같이 서술된다. 궁극적으로 0이 아닌 실 또는 복소 항의 급수 에 대해 라 하면, 급수는 r > 1일 때 절대수렴, R < 1일 때 발산한다. 증명[편집]r > 1이면, 1 < p < q < r이게끔 p, q를 취했을 때, 어떤 자연수 m이 있어 모든 n ≥ m에 대해 다음이 성립한다. r > 1 또한 임에 따른 것이다. 따라서 , 즉 가 성립하며, 비교판정법과 p-급수의 수렴에 의해 은 절대수렴한다. R < 1이면, 어떤 자연수 m이 있어 모든 n ≥ m에 대해 이 성립한다. 따라서 이며, 비교판정법과 조화급수의 발산에 의해 은 발산한다. 예[편집]급수 의 발산성은 라베 판정법으로 간주된다: 비판정법으로는 이 급수의 수렴 여부를 판정할 수 없다. 베르트랑 판정법[편집]베르트랑 판정법(Bertrand's test): 궁극적으로 0이 아닌 실 또는 복소 급수 에 대해, 라 하면, r > 1일 때 절대수렴, R < 1일 때 발산이다. 증명[편집]r > 1이면, 1 < p < q < r이게끔 p, q를 취했을 때, 어떤 자연수 m이 있어 모든 n ≥ m에 대해 다음이 성립한다. 따라서 이며, 비교판정법과 의 수렴에 의해 급수는 절대수렴한다. R < 1이면, 어떤 자연수 m이 존재하여 임의의 n ≥ m에 대해 이 성립한다. 비교판정법과 의 발산에 의해 급수는 발산한다. 쿠머 판정법[편집]쿠머 판정법(Kummer's test, 에른스트 쿠머): 만약 인 에 대해, 수열 이 존재하여 증명[편집]r > 0이면, 어떤 c가 존재하여, 충분히 큰 n ≥ m에 대해 , 즉 이 성립한다. 따라서 cnan은 0을 하계로 하고 단조감소하므로 수렴한다. 망원급수 은 이에 따라 수렴한다. 고로 양항급수가 수렴함을 비교판정법에 의해 알 수 있다. R < 0이면, 충분히 큰 n ≥ m에 대해 cnan < cn + 1an + 1이 성립하며, 따라서 이 임의의 n > m에게 성립한다. 비교판정법과 이 발산한다는 조건에 의해 양항급수는 발산한다. 더 나아간 결론[편집]쿠머 판정법의 전건과 후건은 사실 서로 동치이다. 즉,[5]
다르게 표현하면, 쿠머의 양항급수에 대한 판정법은 이론적으론 만능이다. 같이 보기[편집]
각주[편집]
참고 문헌[편집]
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