이차방정식 두근의 차 공식 - ichabangjeongsig dugeun-ui cha gongsig

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수학동아DB/디자인 유승민

지난해 12월 16일입니다.  지난 4000년 넘게 인류를 괴롭혀온 '근의 공식'으로부터 자유로워질 새 방법이 논문을 통해 제시됐습니다. 미국 카네기멜론대 수학과 포쉔 로 교수는 ‘근의 공식에 대한 간단한 증명’이라는 논문에서 평균을 이용해 2차 방정식을 쉽게 풀 수 있는 방법을 소개했습니다. 

지금까지 2차 방정식을 풀 때 주로 사용하던 근의 공식은 x에 관한 2차 방정식 ax²+bx+c=0(a≠0)에서 유도한 식(아래)에 각 계수를 대입해 근을 구합니다. 반면 로 교수는 두 근의 평균을 이용한 방법으로 계산 과정을 단순하게 만들었습니다. 

아래 칠판을 따라 풀어보면 실제로 근의 공식 없이도 문제가 금방 풀리는 걸 알 수 있습니다. 이 방법은 모든 2차 방정식에 대해 성립하니, 아무 2차 방정식이나 자유롭게 만들어서 한번 확인해보시길 바랍니다.

[근과 계수의 관계_이차방정식]

이전 포스팅에서

근의 공식에 대해 알아보았습니다.

2016/07/05 - [수학 개념정리/수학1 개념정리] - 근의 공식 유도

근의 공식은

식 하나에만 대입하면 답이 나오므로

굉장히 명료하지만

조금은 복잡한 형태를 띠고 있으며

끝 항이 켤레 (±) 꼴을

하고 있다는 특징이 있습니다.

위와 같은 특징때문에

두 근을 각각 구해야하는 경우가 아닌

두근의 합 또는 두근의 곱만 필요한 경우에는

좀더 간단하게 그 결과를 구할 수 있습니다.

그 원리보다는 결과가 중요한 사항이므로

  먼저 공식부터 살펴보겠습니다.

위와 같이 이차방정식의

계수만 활용하여

두근의 합과 곱을 구할 수 있습니다.

근의 공식에 대입하여

두 근을 구하고 덧셈, 곱셈을 해주어도

그 결과는 똑같지만

외워두면 계산이 훨씬  간단해지므로

숙지해두는 게 좋습니다.

식이 나오게되는 원리는

아래와 같이 근의 공식으로부터

도출할 수 있습니다.

먼저 덧셈부터 살펴보겠습니다.

빨간 색으로 표시한 켤레부분이

삭제되어 결과적으로

위와 같은 식이 나오게 됩니다.

다음으로 곱셈을 살펴보겠습니다.

b항이 삭제되어

위와 같은 식을 도출할 수 있습니다.

같은 방법으로 혹은

이미 구한 두근의 합과 곱으로

두근의 차 또한 구할 수 있으니

그건 직접한 번 구해보시는 것도 

좋을 것 같습니다.

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'수학 개념정리 > 수학1 개념정리' 카테고리의 다른 글

이차방정식의 근과 계수와의 관계는 중3 때 근과 계수와의 관계에서 했어요. 내용은 전혀 달라지지 않았습니다. 완전히 똑같아요. 대신 이걸 활용하는 문제가 조금 더 어려워진 것뿐이에요.

근과 계수와의 관계 공식을 잊어버렸다면 이 글을 통해서 한번 더 복습하고 앞으로는 잊어버리지 않도록 하세요.

이차방정식의 근과 계수와의 관계 문제에서는 곱셈공식의 변형을 이용한 문제들이 많이 나오니까 이 공식들도 기억하고 있어야 해요.

이차방정식의 근과 계수와의 관계

이차방정식 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)의 근은 근의 공식을 이용해서 구할 수 있어요.

이차방정식의 두 근을 α, β라고 하고 

두 근의 합과 계수와의 관계

일단 두 근 α, β를 더 해보죠.

두 근의 곱과 계수와의 관계

이번에는 두 근을 곱해볼게요.

정리해보면 아래 공식을 얻을 수 있어요.

ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
α + β = -$\frac{b}{a}$    αβ = $\frac{c}{a}$

두 근의 차와 계수와의 관계

이번에는 차를 구해보죠. 차는 α, β 중 어느 것이 더 큰지 모르니까 절댓값을 이용해서 구해요.

분자는 근의 공식에서 뒤에 있는 제곱근 부분으로 판별식 D에 루트 씌워놓은 거고, 분모는 |a|네요.

위 공식을 이용해서 차를 구하는 경우보다는, 두 근의 합(α + β)와 두 근의 곱(αβ)를 이용해서 구하는 경우가 훨씬 많아요. 이때, 곱셈공식의 변형을 사용해요.

2x2 + 4x - 8 = 0의 두 근을 α, β라고 할 때 다음을 구하여라.
(1) α + β
(2) αβ
(3) α2 + β2
(4) (α + 1)(β + 1)
(5)

(1) α + β =

(2) αβ =

(3) α2 + β2은 곱셈공식의 변형을 이용한 문제예요.
α2 + β2
= (α + β)2 - 2αβ
= (-2)2 - 2 × (-4)
= 4 + 8 = 12

(4) (α + 1)(β + 1)는 곱셈공식을 이용해서 전개해야겠네요.
(α + 1)(β + 1)
= αβ + α + β + 1
= -4 + (-2) + 1
= -5

(5) 는 통분해서 계산해보죠.

(6) 두 근의 차는 두 근의 합, 두 근의 곱, 곱셈공식의 변형을 이용해서 구하고, 절댓값으로 표현합니다.
(α - β)2 = (α + β)2 - 4αβ
(α - β)2 = (-2)2 - 4 × (-4)
(α - β)2 = 4 + 16
(α - β)2 = 20
|α - β| = 

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[중등수학/중3 수학] - 근의 공식, 근의 공식 유도, 짝수 공식
[중등수학/중3 수학] - 근과 계수와의 관계

이차방정식 ax2 + bx + c = 0(a, b, c는 실수, a≠ 0)에서 두 근을 α, β라고 할 때

• α + β =
  
• αβ =
  
• |α - β| ← (α - β)2 = (α + β)2 - 4αβ

이차방정식의 판별식, 실근, 중근, 허근

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두 수를 근으로 하는 이차방정식

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