고등 코사인 법칙 두가지(제1 cos, 제2코사인법칙)
URL 복사 이웃추가 본문 기타 기능 공유하기 신고하기 고등 수학1 삼각함수의 사인법칙을 알아보고 이후 코사인 법칙이 등장한다 코사인 법칙은 사인법칙에 비해 훨씬 복잡하고 두가이 공식이라 암기하기도 어렵다 변형하는 식도 길어 반복되는 연습을 통해 외워야 한다 실제 고등 수학 문제에서도 코사인법칙을 이용하는 비중이 사인법칙에 비해 높다
먼저 제 1코사인 법칙 공식은 삼각형의 한 변의 길이를 그 변의 양 끝 꼭지각의 코사인 값과 이외 두 변의 길이로 표현한 공식이다 (a, b, c는 삼각형의 세 변이고 A, B, C는 삼각형의 세 각이다) 외우기 쉬운 방법은 삼각형의 한 변을 기준으로 이외 다른 알파벳의 변과 각이 서로 교차하는 곱의 합이다
그다음 코사인 제2법칙은 삼각형의 한 변의 길이를 다른 두 변과 대각의 코사인값으로 표현한 공식이다 제2법칙 또한 한 변의 길이를 구할때 다른 두변으로 완전제곱꼴 느낌이 등장하며 마지막에 대각의 코사인값이 등장한다 제1법칙과 비교했을 때 각을 하나만 알아도 되는 차이점이 있다 네이버 백과 학창시절에 이렇게 두가지 cos법칙을 배웠었는데 요즘 수학문제집을 보니 코사인법칙이라고 등장하는건 제2코사인법칙 뿐이였다 (이름은 그저 코사인법칙이라고 나온다) 제1코사인법칙은 다루지않는게 삭제됐나싶다 사인법칙과 코사인법칙은 도형, 기하적인 부분에서 많이 이용되기에 꼭 암기해야한다
공식을 변형하여 코사인 값을 삼각형 세 변으로 구할 수 있게 만든다 상당히 균형적인 공식이라 외우기 편하다 결국 이 공식으로 알 수 있는건 세 변의 정보를 알고있다면 세 각도를 다 알 수 있다는 것이다 물론 특수각(30도, 45도, 60도 , 90도, 120도 등)일 경우만이다 사인법칙 공식 삼각형 외접원의 반지름 R과의 관계 고등 수학1 삼각함수 단원에 첫 sin, cos, tan를 배우고 이후 사인법칙과 코사인법칙이 등장한다먼저 사인... m.blog.naver.com 태그 취소 확인 ` 공감 이 글에 공감한 블로거 열고 닫기댓글 15 이 글에 댓글 단 블로거 열고 닫기 인쇄 댓글쓰기 1/1 이전 다음 도형 · 직선 (반직선 · 선분 · 평행) · 각 (맞꼭지각 · 동위각 · 엇각 · 삼각비) · 길이 · 넓이 · 다각형 (정다각형 · 대각선) · 작도 · 합동 · 닮음 · 등적변형 · 삼각함수 (덧셈정리) · 접선 · 벡터 삼각형 종류 정삼각형 · 이등변삼각형 · 부등변삼각형 · 예각삼각형 · 직각삼각형 · 둔각삼각형 성질 오심 (관련 정리 · 구점원) · 피타고라스 정리 · 사인 법칙 · 코사인 법칙 · 헤론의 공식 · 신발끈 공식 · 스튜어트 정리 · 우산 정리 · 오일러 삼각형 정리 · 데자르그 정리 · 메넬라오스 정리 · 나폴레옹의 정리 · 체바 정리 · 사영 정리 기타 세모 모양 · 평범한 삼각형 · 젤곤 삼각형 사각형 정사각형 · 직사각형 · 마름모 · 평행사변형 · 사다리꼴 · 등변 사다리꼴 · 연꼴 · 네모 모양 그 외 다각형 오각형 · 육각형 · 칠각형 · 팔각형 (정팔각형) · 구각형 · 십각형 · 십일각형 · 십이각형 원 단위원 · 원주율 · 호 · 부채꼴 · 할선 · 활꼴 · 방정식 · 원주각 · 방멱 정리 · 톨레미 정리 원뿔곡선 포물선 · 타원 · 쌍곡선 · 파스칼 정리 기타 유클리드 · 보조선 · 테셀레이션(펜로즈 타일) · 제곱근의 앵무조개 · 픽의 정리 · 논증 기하학 · 해석 기하학 · 3대 작도 불능 문제 1. 개요 1.1. 증명 1.1.1. 기본적인 증명1.1.2. 페이저와 복소수를 이용한 증명 1.2. 활용1.3. (과거) 제1 코사인 법칙1.3.1. 증명 2. 비유클리드 기하학에서3. 여담4. 관련 문서1. 개요[편집]cosine law
사인 법칙과 함께 삼각형의 변의 길이와 각의 크기를 찾을 때 유용한 정리이다. 과거 한국에서는 이상하게도 제1 코사인 법칙, 제2 코사인 법칙의 두가지로 나눴는데, 2007 개정 교육과정 이후로는 과거 제2 코사인 법칙이 그냥 "코사인 법칙"으로 명칭이 변경되었다.[1] 이유는 후술할 비유클리드 기하학에서의 제1 코사인법칙과 제2 코사인법칙과의 충돌을 막기 위해서이다. 유클리드 기하학에서의 코사인법칙은 구면이나 쌍곡면의 제1 코사인법칙의 극한에 대응되기 때문이다. 참고로 구면이나 쌍곡의 제2 코사인법칙에 극한을 취하면 cosC∞=−cosA∞cosB∞+sinA∞sinB∞\cos C_\infty=-\cos A_\infty\cos B_\infty+\sin A_\infty\sin B_\inftycosC∞=−cosA∞cosB∞+sinA∞sinB∞라는 자명한 식이 되어버리기 때문에 유클리드 기하학에는 제2 코사인법칙이 존재하지 않는다. 자세한 내용은 위키백과의 코사인 법칙 문서를 참조하기 바란다. 1.1. 증명[편집]1.1.1. 기본적인 증명[편집]삼각형 ABC\mathrm{ABC}ABC의 꼭짓점 A\mathrm{A}A의 대변 BC\mathrm{BC}BC 혹은 그 연장선 상에 내린 수선의 발을 H\mathrm{H}H라 하자.
이고, 삼각형 AHC\mathrm{AHC}AHC는 직각 삼각형이므로 피타고라스 정리로 부터,
을 얻는다. 이때, sin2B+cos2B=1\sin^2 B + \cos^2 B =1sin2B+cos2B=1이므로
을 얻는다. 삼각형 ABC{\mathrm{ABC}}ABC가 둔각 삼각형이거나 직각 삼각형의 경우에도 직각 삼각형 AHC{\mathrm{AHC}}AHC을 이용하면 같은 식을 얻을 수 있고, 나머지 두 식에 대해서도 같은 방법으로 증명이 가능하다. 여기서 sin2B+cos2B=1\sin^2 B + \cos^2 B=1sin2B+cos2B=1 이 피타고라스 정리와 삼각함수의 정의에서 유도되므로, 코사인 법칙은 피타고라스 정리와 삼각함수의 정의의 결과, 또는 피타고라스 정리를 삼각함수의 정의를 이용하여 확장한 것이라고 할 수 있다.[2] 1.1.2. 페이저와 복소수를 이용한 증명[편집]
이때, 오일러의 공식을 이용하면,
이제 이것을 실수부와 허수부로 나눠서 쓰면,
윗식을 각각 제곱하여 더하면,
이때,
임을 이용하여, 식을 간결하게 하면 다음과 같이 된다.
주어진 그림에서 끼인각 θ\thetaθ와 α\alphaα, β\betaβ와의 관계는
이므로 코사인의 우함수적 성질, 즉
임을 이용하면, 위에서 나온
에 의하여 다음이 성립한다.
이때, CCC는 길이이므로 항상 음이 아닌 수임에 주의하여야 한다. 1.2. 활용[편집]
1.3. (과거) 제1 코사인 법칙[편집]삼각형 ABC\mathrm{ABC}ABC를 고려하자. 각 AAA, BBB, CCC의 대변의 길이를 각각 aaa, bbb, ccc라 할 때 다음이 성립한다는 법칙이다. 위에서 언급하였듯, 현재는 교육과정 내에서 따로 제2 코사인법칙과 나누어 가르치지 않는다. 간혹 가르치는 경우도 존재하나, 사실상 문제에서 거의 등장하지 않기 때문에 제2 코사인법칙만 알고 있어도 무방하다.
1.3.1. 증명[편집]삼각형 ABC\mathrm{ABC}ABC의 꼭짓점 A\mathrm{A}A의 대변 BC\mathrm{BC}BC 혹은 그 연장선 상에 내린 수선의 발을 H\mathrm{H}H라 하자.
(ⅱ) △ABC\triangle \mathrm{ABC}△ABC가 둔각 삼각형일 때 다음이 성립한다.
(ⅲ) △ABC\triangle \mathrm{ABC}△ABC가 직각 삼각형일 때 위 그림에서
이고, ∠C=90°\angle C=90\degree∠C=90°이므로 cosC=0\cos{C}=0cosC=0이다. 따라서
이 성립한다. 나머지 두 변에 대해서도 같은 방법으로 증명이 가능하다. 2. 비유클리드 기하학에서[편집]기하학·위상수학 [ 펼치기 · 접기 ] 평면기하학에 대한 내용은 틀:평면기하학 참고. 기본 대상 공리 유클리드 기하학 · 비유클리드 기하학 도형 기본 도형 평면 · 부피 · 꼬인 위치 · 각기둥 · 각뿔 · 원기둥 · 원뿔 · 구 (공 모양) · 전개도 · 겨냥도 · 다면체 (정다면체) · 정사영 곡면 타원면 · 타원포물면 · 쌍곡포물면 · 원환면 프랙털 도형 시에르핀스키 삼각형 · 시에르핀스키 사각형(멩거 스펀지) · 망델브로 집합 · 코흐 곡선 · 드래곤 커브 기타 다포체 · 초구 · 일각형 · 이각형 다루는 대상과 주요 토픽 위상수학 위상 공간 유계 · 옹골 집합 · 다양체 · 택시 거리 공간 · 연결 공간 · 위상수학자의 사인곡선 위상도형 사영평면 · 뫼비우스의 띠 · 클라인의 병 · 매듭(목록) 대수적 위상수학 호몰로지 · 호모토피 미분기하학 미분다양체 · 측지선 · 곡률(스칼라 곡률 · 리만-크리스토펠 곡률 텐서 · 리치 텐서) · 열률 · 텐서 · 쌍곡 공간(쌍곡삼각형 · 푸앵카레 원반) · 타원 공간(구면삼각형) · 아핀접속 기타 차원 · 좌표계 · 거리함수 정리·추측 실베스터-갈라이 정리 · 해안선 역설 · 바나흐-타르스키 역설 · 라이데마이스터 변환 · 오일러 지표 · 푸앵카레 정리 · 호지 추측미해결 분야 논증기하학 · 미분기하학 · 해석기하학 · 매듭이론 · 프랙털 이론 · 정보기하학 · 위상 데이터분석 비유클리드 기하학에서는 식의 형태가 완전히 달라진다.
3. 여담[편집]
4. 관련 문서[편집]
[1] 세계적으로 코사인 법칙이라 하면 제2 코사인 법칙만을 가리킨다. 예외적으로 현행 일본 고등학교 교육과정에서도 코사인 법칙를 제1 여현정리, 제2 여현정리로 구분을 한다. 참고로 중국과 일본에선 코사인을 여현(余弦)이라고 한다. 인도 역시 제1코사인법칙에 해당하는 내용을 배우나 projection formula라는 전혀 다른 용어를 사용한다.[2] 삼각함수의 정의는 닮은 삼각형의 존재성에서 바로 나오고, 닮은 삼각형의 존재성과 피타고라스 정리와 평행선공준은 서로 동치인 명제이다. 따라서 코사인 법칙은 길이와 각에 관한 유클리드 기하학의 고유한 성질을 보여주는 명제라고 할 수 있고, 구면 위의 기하학에서는 이와 다른 정의와 법칙(구면삼각법)이 사용된다. |