고등학교 수학 증명 - godeunghaggyo suhag jeungmyeong

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• 오리엔테이션
  시작하기에 앞서
  1. [어른들을 위한 기초 수학] 소개
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  • 수학에서 증명의 중요성
  • 6) $\log_{a}b\cdot \log_{b}a=1 \ (a>0,a\neq 1,b>0,b\neq 1)$
  • 7) $\log_{a}b\cdot \log_{b}c \log_{c}a=1 \ (a,b,c>0 \  and \ a,b,c\neq 1)$
  • 8) $\log_{a}b\cdot \log_{b}c \log_{c}d=\log_{a}d \ (a,b,c,d>0 \ and \ a,b,c\neq 1)$
  • 9) $\log_{a^{m}}b^{n}=\frac{n}{m}\log_{a}b \ (a\neq 1,a>0,b>0,m\neq 0)$
  • 10) $a^{\log_{a}b}=b \ (a>0,b>0,a\neq 1)$
  • 11) $a^{\log_{c}b}=b^{\log_{c}a} \ (a>0,b>0,c>0,c\neq 1)$
• 1강 수의 체계
  TOPIC1 : 실수 1 _유리수 Rational Number
  1. 자연수와 정수, 그리고 소수
  TOPIC2 : 실수 2 _ 무리수 Irrational Number
  1. 무리수가 분수의 꼴로 나타낼 수 없음을 증명해보자
  TOPIC3 : 허수 Imaginary Number
  1. 허수와 복소수의 연산
  보충 조교 강의 : 진법
  1. 2진법과 5진법의 계산

• 2강 문자식
  TOPIC1 : 문자식의 계산
  1. 몇 가지 전개와 인수분해 공식, 등식의 성질
  TOPIC2 : 일차방정식(Linear Equation)의 풀이
  1. 일차방정식을 풀어봅시다.
  TOPIC3 : 이차방정식(Quadratic Equation)의 풀이
  1. 이차방정식을 풀어봅시다.
  TOPIC4 : 이차방정식의 근의 공식(Quadratic Formula)
  1. 이차방정식은 항상 풀 수 있습니다.
  TOPIC5 : 고차방정식(Equation of Higher Degree)
  1. 고차방정식의 몇 가지 공식들과 물리학에서의 몇 가지 활용
  조교강의 : 판별식(discriminant), 산술평균(AM)과 기하평균(GM)
  1. 판별식과 산술, 기하평균에 대해 알아봅시다.

• 3강 고전 기하
  TOPIC1 : 유클리드 기하학(Euclidean Geometry)_1
  1. 유클리드의 공리, 공준과 비유클리드 기하학(non-Euclidean geometry)
  TOPIC2 : 정리(Theorem)와 증명(Proof)
  1. 수학에서 증명의 중요성
  TOPIC3 : 유클리드 기하학(Euclidean Geometry)_2
  1. 기본도형의 넓이와 부피, 삼각형의 합동조건과 삼각형의 닮음조건
  TOPIC4 : 유클리드 기하학(Euclidean Geometry)_3
  1. 피타고라스 정리와 그 몇 가지 증명법
  TOPIC5 : 삼각비(Trigonometric Ratio)
  1. 삼각비, 사인법칙, 코사인법칙
  TOPIC6 : 삼각함수(Trigonometric Function)
  1. 사인함수, 코사인함수, 탄젠트 함수

• 4강 함수와 그래프
  TOPIC1 : 집합(A Set)
  1. 집합의 정의와 성질들
  TOPIC2 : 함수(A Function)
  1. 함수의 정의와 종류
  TOPIC3 : 일차함수(A Linear Function)
  1. 직선을 표현하는 방법을 알아봅시다.
  TOPIC4 : 이차함수(A Quadratic Function)
  1. 포물선을 표현하는 방법을 알아봅시다.
  TOPIC5 : 함수의 평행이동과 대칭(Translation and Symmetry)
  1. 평행이동과 대칭이동을 표현하는 방법을 알아봅시다.
  TOPIC6 : 절댓값 그래프(Absolute Value Function)
  1. 여러가지 절댓값 그래프
  조교강의 : 명제(A Proposition), 함수(A Function)
  1. 필요조건, 충분조건, 필요충분조건, 합성함수, 역함수

• 5강 미분법
  TOPIC1 : 함수의 극한(Limit of a Function)과 연속(Continuity of a Function)
  1. 그래프가 어떤 점에서 이어진다는 것을 수학적으로 어떻게 얘기할까요?
  TOPIC2 : 함수의 미분(Differentiation of a Function)
  1. f의 도함수(derivative of f)와 다항함수(polynomial)의 도함수
  TOPIC3 : 도함수의 활용(Applications of a Derivative)
  1. 도함수로부터 우리는 무엇을 알 수 있을까요?
  조교강의 : 합성함수 미분법(Chain Rule)
  1. 합성함수 미분법과 x^n의 도함수에 대하여 알아봅시다.

• 6강 적분법
  TOPIC 1 : 부정적분과 정적분(Indefinite Integral and Definite Integral)
  1. 부정적분과 정적분에 대하여 알아봅시다.
  TOPIC 2 : 미분적분학의 기본정리(Fundamental Theorem of Calculus)
  1. 미분적분학의 기본정리에 대하여 알아봅시다.
  TOPIC 3 : 정적분의 활용(Applications of Definite Integral)
  1. 입체도형의 부피와 위치, 속도, 가속도
  조교강의 : 정적분의 활용
  1. 두 곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이, 속도와 위치, 회전체 부피 구하기

• 7강 확률
  TOPIC 1 : 경우의 수(1)
  1. 합의 법칙, 곱의 법칙
  TOPIC 2 : 경우의 수(2)
  1. 순열, 원순열, 조합
  TOPIC 3 : 확률(Probability)
  1. 확률을 계산하는 방법을 알아봅시다.
  조교강의 : 복습
  1. 같은 것이 있는 순열, 중복조합, 집합의 분할, 베이즈의 정리

• 8강 통계
  TOPIC 1 : 도수분포표
  1. 도수분포표, 평균, 분산, 그리고 표준편차
  TOPIC 2 : 이산확률변수
  1. 확률질량함수와 이항분포
  TOPIC 3 : 연속확률변수
  1. 확률밀도함수와 정규분포
  TOPIC 4 : 통계적 추정
  1. 표본평균의 분포, 신뢰도
  조교강의
  1. 이항분포와 정규분포의 평균과 분산

로그의 성질 두번째 시간입니다. 지난 글에서는 아래 다섯가지 성질을 유도했습니다. 

1) $\log_{a}1=0$
2) $\log_{a}a=1$
3) $\log_{a}xy=\log_{a}x+\log_{a}y$
4) $\log_{a}\frac{x}{y}=\log_{a}x-\log_{a}y$
5) $\log_{a}x^{n}=n\log_{a}x$

또한 두가지 밑변환 공식도 유도했습니다. 

오늘은 아래 여섯가지 성질을 유도하겠습니다. 증명에 위 성질들이 사용됩니다. 

6) $\log_{a}b\cdot \log_{b}a=1 \ (a>0,a\neq 1,b>0,b\neq 1)$

7) $\log_{a}b\cdot \log_{b}c \log_{c}a=1 \ (a,b,c>0 \  and \ a,b,c\neq 1)$

8) $\log_{a}b\cdot \log_{b}c \log_{c}d=\log_{a}d \ (a,b,c,d>0 \ and \ a,b,c\neq 1)$

9) $\log_{a^{m}}b^{n}=\frac{n}{m}\log_{a}b \ (a\neq 1,a>0,b>0,m\neq 0)$

10) $a^{\log_{a}b}=b \ (a>0,b>0,a\neq 1)$

11) $a^{\log_{c}b}=b^{\log_{c}a} \ (a>0,b>0,c>0,c\neq 1)$

하나씩 증명해봅시다. 

6) $\log_{a}b\cdot \log_{b}a=1 \ (a>0,a\neq 1,b>0,b\neq 1)$

밑변환 공식을 적용하여 아래와같이 좌변을 변형하겠습니다. 

$\log_{a}b\cdot \log_{b}a=\frac{\log_{c}{b}}{\log_{c}{a}}\cdot \frac{\log_{c}{a}}{\log_{c}{b}}$

약분하면 1이 됩니다. 

$\log_{a}b\cdot \log_{b}a=\frac{\log_{c}{b}}{\log_{c}{a}}\cdot \frac{\log_{c}{a}}{\log_{c}{b}}=1$

따라서 아래 등식이 유도됩니다. 

$\log_{a}b\cdot \log_{b}a=1$

7) $\log_{a}b\cdot \log_{b}c \log_{c}a=1 \ (a,b,c>0 \  and \ a,b,c\neq 1)$

밑변환 공식을 적용하여 좌변을 아래와 같이 변형합시다. 

$\log_{a}b\cdot \log_{b}c \log_{c}a=
\frac{\log_{x}{b}}{\log_{x}{a}}\cdot
\frac{\log_{x}{c}}{\log_{x}{b}}\cdot
\frac{\log_{x}{a}}{\log_{x}{c}}$

약분하면 1이 됩니다. 

$\log_{a}b\cdot \log_{b}c \log_{c}a=
\frac{\log_{x}{b}}{\log_{x}{a}}\cdot
\frac{\log_{x}{c}}{\log_{x}{b}}\cdot
\frac{\log_{x}{a}}{\log_{x}{c}}=1$3

따라서 아래 등식이 유도됩니다. 

$\log_{a}b\cdot \log_{b}c \log_{c}a=1$

8) $\log_{a}b\cdot \log_{b}c \log_{c}d=\log_{a}d \ (a,b,c,d>0 \ and \ a,b,c\neq 1)$

밑변환 공식을 적용하여 좌변을 아래와 같이 변형합시다. 

$\log_{a}b\cdot \log_{b}c \log_{c}d=
\frac{\log_{x}{b}}{\log_{x}{a}}\cdot
\frac{\log_{x}{c}}{\log_{x}{b}}\cdot
\frac{\log_{x}{d}}{\log_{x}{c}}$

우변을 약분하면 아래와 같습니다. 

$\log_{a}b\cdot \log_{b}c \log_{c}d=
\frac{\log_{x}{d}}{\log_{x}{a}}$

밑변환공식의 반대과정을 적용하면 아래 등식이 유도됩니다. 

$\log_{a}b\cdot \log_{b}c \log_{c}d=\log_{a}d$

9) $\log_{a^{m}}b^{n}=\frac{n}{m}\log_{a}b \ (a\neq 1,a>0,b>0,m\neq 0)$

밑변환 공식을 적용하여 좌변을 아래와 같이 변형합시다. 

$\log_{a^{m}}b^{n}=\frac{\log_{c}{b^{n}}}{\log_{c}{a^{m}}}$

지난시간에 유도한 5번 성질을 이용하여 우변을 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

$\log_{a^{m}}b^{n}=\frac{n}{m}\cdot \frac{\log_{c}{b}}{\log_{c}{a}}$

밑변환공식의 반대과정을 적용하면 아래 등식이 유도됩니다. 

$\log_{a^{m}}b^{n}=\frac{n}{m}\log_{a}b$

10) $a^{\log_{a}b}=b \ (a>0,b>0,a\neq 1)$

양변에 밑이 a인 로그를 취합시다. 

$\log_{a}a^{\log_{a}b}=\log_{a}b$

5번 성질을 이용하여 지수를 아래로 내립니다. 

$\log_{a}b \cdot \log_{a}a=\log_{a}b$

$\log_{a}a$는 1이므로 좌우변이 같습니다. 따라서 아래 등식이 유도됩니다. 

$a^{\log_{a}b}=b$

11) $a^{\log_{c}b}=b^{\log_{c}a} \ (a>0,b>0,c>0,c\neq 1)$

양변에 밑이 c인 로그를 취합시다. 

$\log_{c}a^{\log_{c}b}=\log_{c}b^{\log_{c}a}$

5번 성질을 이용하여 지수를 아래로 내립니다.

$\log_{c}b \cdot  \log_{c}a=\log_{c}a \cdot \log_{c}b$

좌우변이 같습니다. 따라서 아래 등식이 유도됩니다. 

$a^{\log_{c}b}=b^{\log_{c}a}$