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삼각형을 한 개 그려봅시다 이 변의 길이를 b로, 그 값은 단위를 고려하지 않고 12라고 합시다 이 변의 길이는 c로 두고 이 변의 길이는 c로 두고 그 값은 9라고 해봅시다 우리가 구해야 하는 것은 이 변의 길이 a입니다 즉 a의 값을 구해야 합니다 이 각을 모르는 한 a는 구할 수 없습니다 파란 변과 초록 변을 가까이 하면 파란 변과 초록 변을 가까이 하면 a는 작아질 것이고 이 각이 커지면 a도 역시 커지기 때문입니다 그래서 이 각의 크기도 알아야 합니다 이 각을 세타로 두고 이 각을 세타로 두고 그 값을 87도로 둡시다 a를 어떻게 구할까요? 영상을 멈추고 스스로 풀어보기를 권합니다 다행히 두 변의 길이와 그 사잇각만 알면 코사인 법칙을 사용해서 세번째 변의 길이를 구할 수 있습니다 코사인 법칙은 a^2=b^2+c^2임을 말해줍니다 직각삼각형일 경우에는 이 각이 90도가 되고 a는 빗변이 됩니다 이는 피타고라스 정리입니다 하지만 코사인 법칙은 임의의 각에 대해 피타고라스 정리를 적용한 것입니다 그래서 코사인 법칙은 a^2=b^2+c^2-2bccosθ입니다 a^2=b^2+c^2-2bccosθ입니다 a^2=b^2+c^2-2bccosθ입니다 그리고 이 θ는 구하고자 하는 변의 대각입니다 a를 구하는 것이므로 θ를 사용합시다 이 각이 주어진다 하더라도 그 각을 사용할 수 없습니다 구하려는 변의 대각을 써야 합니다 구하려는 변의 대각을 써야 합니다 b, c, θ의 값을 모두 알고 있으므로 a를 구해봅시다 따라서 a^2은 b^2의 값인 144에 따라서 a^2은 b^2의 값인 144에 c^2의 값인 81 을 더하고 2 X 12 X 9 X cos87 을 뺀 값입니다 2 X 12 X 9 X cos87 을 뺀 값입니다 2 X 12 X 9 X cos87 을 뺀 값입니다 2 X 12 X 9 X cos87 을 뺀 값입니다 이 식은 곧 225에서 12 X 9 =108, 108 X 2 = 216, 216 X cos87을 뺀 값입니다 근사치를 구하기 위해 계산기를 사용합시다 a^2이라는 점에 주의합시다 계산기를 꺼내기 전에 a에 관해 식을 정리합시다 a는 이 식의 제곱근입니다 즉 a는 위의 제곱근인데, 복사해서 붙여넣겠습니다 이것의 제곱근이 될 겁니다 복사해서 붙여넣겠습니다 a가 이 식의 제곱근이므로 그 값을 구하기 위해 계산기를 사용합시다 제곱근이 이 전부에 관한 것임을 확실히 하기 위해 근호를 조금 늘리겠습니다 계산기를 꺼내봅시다 제곱근을 계산합시다 계산하기에 앞서 각도의 단위를 도로 설정하세요 삼각함수를 계산해야 하기 때문입니다 설정했으면 다시 나갑시다 225 - 216 X cos87이 됩니다 225 - 216 X cos87이 됩니다 225 - 216 X cos87이 됩니다 88도가 아니라 87도입니다 기다려봅시다 답은 14.61 또는 14.618이 됩니다 답은 14.61 또는 14.618이 됩니다 반올림해 소수 첫째자리까지 표현하면 반올림해 소수 첫째자리까지 표현하면 약 14.6이 됩니다 a는 어떤 길이의 단위를 사용하든지 약 14.6이 됩니다
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아래 주어진 삼각형의 넓이는 75 ㎠입니다 x로 주어진 변의 길이는 얼마일까요? 동영상을 잠시 멈추고 x의 길이를 구해 보세요 같이 풀어 봅시다 넓이가 주어졌죠? 그리고 이 변의 길이가 11 ㎝라고 주어졌습니다 그리고 이 길이가 10 ㎝라고 주어졌어요 이 삼각형을 회전시키면 이 길이를 높이라고 볼 수 있죠 한번 회전시켜 볼까요? 이 도형을 회전시키면 길이를 구하기 쉬워질 거예요 이 도형을 복사해서 붙여넣어 볼게요 여기에 옮겨서 회전시켜 봅시다 삼각형을 회전시키면 이렇게 되겠네요 이제 구하려는 변의 길이 x가 무엇인지 명확해졌습니다 x는 밑변입니다 주어진 것은 삼각형의 높이와 넓이예요 삼각형의 밑변, 높이, 넓이의 상관관계를 알고 있습니다 넓이(A) = 1/2 · 밑변(b) · 높이(h) 주어진 넓이는 75 ㎠였죠? 여기어 75를 써 볼게요 밑변은 무엇일까요? 밑변은 미지수 x였죠? 식을 써 보면 75 = 1/2 · x · h가 되겠죠 높이는 무엇일까요? 높이는 10이라고 주어졌습니다 x가 밑변의 길이라면 삼각형의 높이는 10이 되겠죠 11이라고 주어진 변의 길이는 사용할 필요가 없어요 그냥 헷갈리도록 주어진 거예요 따라서 이 길이가 삼각형의 높이가 됩니다 75 = 1/2 · x · 10 이를 다시 써 볼게요 1/2 · 10 = 5이므로 75 = 5 · x가 됩니다 x를 위의 식과 같은 색으로 써 볼게요 x는 무엇일까요? 이를 구하는 방법은 여러 가지입니다 5에 어떤 수를 곱해야 75가 되는지 구할 수 있겠죠 5 · 10 = 50이고 75가 되려면 25가 더 있어야 하므로 5를 5번 더 곱해주면 총 15를 곱해주는 것이 되겠죠 좀 더 체계적으로 구할 수도 있어요 x에 곱해진 수로 양변을 나눠주는 것입니다 우변을 5로 나누면 (5 · x)/5 에서 5가 약분되어 x만 남겠죠 등식에서 우변과 좌변의 값은 같기 때문에 좌변도 5로 똑같이 나눠주어야 합니다 양변을 5로 나눠줘야 합니다 75/5는 무엇일까요? 15가 됩니다 따라서 x = 15입니다 답이 맞는지 확인할 수도 있어요 x가 15일 때 밑변 · 높이 · 1/2은 무엇일까요? 15 · 10 · 1/2 = 75이므로 처음에 주어진 넓이 75와 같은 값이 나옵니다
정삼각형 같진 않지만, 변 길이가 2인 정삼각형이 있다고 합시다. 그리고 맨 위부터 반시계방향 순서대로 ABC(직각삼각형)라고 두겠습니다. (까먹고 안 썼네요) 그럼 각 A에서 변 BC에 수선을 내리면, 변 BC는 이등분이 되고, 각 A의 각은 이등분이 되는데, 정삼각형의 내각은 각각 60도인 점에서 새로 만들어진 직각삼각형의 각이 각각 몇 도인지를 알 수 있습니다.
사용자 삽입 이미지 각 A는 30도, 각 B는 90도, 각 C는 60도입니다.
[직각삼각형 변의 길이 - 정삼각형]
AC의 길이는 변 BC 길이의 두 배죠. 왜냐면, 위에서 변 BC가 수직이등분이 되니까요. (정삼각형) 여기서 피타고라스 정리를 이용하면, 4=1+AB² AB=√3 따라서, 우리는 30도, 60도, 90도의 대변의 길이의 비를 얻어냈습니다. - 1:√3:2 이와 같은 방법으로, 정사각형에서 대각선을 그어 잘라내면, 45, 45, 90도의 대변의 길이의 비를 얻어낼 수 있습니다. (1:1:√2) 이 비를 이용해서 삼각함수의 특수 각의 값을 유도해낼 수 있습니다.
사인과 코사인의 값이 대칭되는 건, 아래 그림과 함께 보시면 이해가 빠를 겁니다.
[직각삼각형 변의 길이, 구하는 공식]
sinA = cosC ... 각 A는 30도, 각 C는 60도죠. 위의 삼각함수 특수값 표를 통해서 두 값이 같은지 확인하시면 됩니다.
당연히 같죠.
왜인지는 정의를 곱씹어보시면 됩니다. (A=30도) sin 30 사용자 삽입 이미지 = CB/AC (1/2) cos 30 = AB/AC (√3/2) tan 30 = BC/AB (1/√3) 45도랑 60도는 스스로 유도해보시길.
그렇다면 0도와 90도는 어떨까요. 직접 θ 값을 0에 한없이 근사시키면 높이도 0에 한없이 가까워집니다. 따라서, θ 값이 0이 돼버리면, 높이가 0이 되어 sin 0=0 이란 값을 얻습니다. 하지만 cos 0=1 이 되죠.
왜냐면, 빗변이 밑변이랑 일치하기 때문에 그 값이 91312709101 등등의 불규칙한 값이어도 분모와 분자가 같으니 1로 약분이 되어 cos 0=1이 되는 거죠. tan 0=0 이 됩니다. 왜냐면 탄젠트의 정의는 밑변 분의 높이인데, 분모는 알 수 없지만, 분자가 0이 돼버리므로 그 값은 0이 돼버립니다.
또, 90도에 한없이 근사시키면 빗변과 높이는 y축에 한없이 가까워지며, 밑변은 0에 가까워집니다. 따라서 90도가 되면 빗변과 높이와 y축은 일치하고, 밑변은 0이 됩니다.
sin 90=1 이란 값을 얻는데, 빗변과 높이가 서로 같으므로 약분되어 1이 됩니다. cos 90=0 이란 값을 얻는데, 밑변이 0이 되므로, 분자가 0이 되어 0이 되는 거죠. 여기서 tan 90은 정의할 수 없는 신기한 성질을 발견해낼 수 있습니다.
[삼각공식 - 아는 각 또는 변 - 구하는 값]
직각 삼각형 변의 길이 (세 변의 길이 (빗변) 공식)
출처 : 다음 팁 (링크는 잃어버림)