전자공학 속 미분 - jeonjagonghag sog mibun

미분 방정식(Differential Equation)은 과학, 공학에서 매우 중요한 방정식이다. 하지만, 각 분야마다 미분방정식을 보는 관점은 조금씩 다르다. 

전자공학에서 미분 방정식은 시스템을 나타낸다. 아래와 같은 1차 미분 방정식과 2차 미분 방정식에서 우변의 u는 시스템의 입력을 나타내고 y는 시스템의 출력을 나타낸다. 

미분 방정식에 있는 함수의 변화율은 시스템의 상태를 나타낸다. 변화율은 현재와 이전 정보의 차이이기 때문에 미분 방정식의 출력은 이전 상태에 따라 달라진다. 현재 입력과 출력의 관계가 항상 일정하지 않고 출력의 현재 변화율에 따라 출력이 변화한다.

미분 방정식의 디지털 버전은 차분 방정식(Difference Equation)이다.

미분 방정식은 라플라스 변환으로 쉽게 계산할 수 있고 차분 방정식은 Z-변환으로 쉽게 계산할 수 있다.

전자공학에서 많이 사용하는 수학은 다음과 같다.

   - 복소수 연산과 페이저

   - 연속/이산 퓨리에 변환

   - 라플라스 변환 / Z 변환

   - 일,이차 미분 방정식 / 차분 방정식

   - 행렬

전자공학을 제대로 이해하기 위해서는 위의 수학을 완전히 이해해야 한다. 

복소수와 페이저는 매우 밀접한 관계를 가지고 있다.

퓨리에 변환, 라플라스 변환, Z 변환, 미분 방정식은 서로 밀접한 관계를 가지고 있기 때문에 각각의 상호 관계를 이해해야 한다. 라플라스 변환으로 퓨리에 변환을 구할 수 있고 라플라스 변환으로 미분 방정식도 풀 수 있다. 연속(아날로그) 신호와 이산(디지털) 신호는 동일한 서로 대응되는 관계식이 있다.

전자공학에서 가장 중요한 함수는 사인 함수와 지수 함수이다. 전자공학에서 사용하는 복소수 연산과 페이저도 사인 함수를 계산하기 위해 사용된다. 사인 함수와 지수 함수는 모두 미분을 해도 원래 함수와 같아지는 특징이 있다.

전자공학에서 수학은 중요하지만 가장 중요한 것은 아니다. 수학은 기본으로 알아야 하는 수단이지 목적은 아니다. 전자공학과 같은 공학에서는 수학 자체보다 수학으로 표현된 실제 공학적인 개념을 이해하는 것이 더 중요하다. 이러한 개념 이해가 수학보다 훨씬 어렵다. 수학 식은 이해가 되는데 그 식이 무엇을 의미하는지 모르는 경우가 매우 많다.

자연원리와 이론

전기전자 공학에서 유용한 페이져(phasor) 의 개념

[출처 : 전파거북이님 블로그]  

공과대학에 입학해서 처음 배우는 수학은 미분적분학이다.

그 다음으로 미분방정식(微分方程式, differential equation)을 배우게 된다. "어렵다. 포기하고 싶다."는 생각도 들지만 "수학과도 아닌데 도대체 왜 배우지!"라는 마음도 가지게 된다.
당연하다. 미분방정식은 쉽지 않다. 그럴듯한 책제목으로 독자들을 현혹하기도 하지만 학문 특히 수학에는 왕도가 없기 때문에 미분방정식을 쉽게 배울 수 있는 방법은 없다.
미분방정식 문제를 많이 풀어보고 미분방정식의 수학적 기반을 고민하고... 이런 고행으로 내공을 더해가야 전문가가 될 수 있다.
특히나 공학도를 힘들게 하는 것은 이 미분방정식 이론이 대부분의 시스템 설계에 사용된다는 것이다.
그래서, 미분방정식을 배우는 공학도들은 웃는 얼굴을 하기가 힘들다.

이런 상황에서 우리를 미분방정식에서 해방시키는 놀라운 개념을 배우게 된다.
바로 페이저(phasor) 개념이다.

페이저는 미분방정식을 쓰지 않고 미분방정식을 풀게 해주는 재미있는 도구이다.
페이저라는 도구를 만든 사람은 수학을 싫어했던 공학자 헤비사이드(Oliver Heaviside)이다(역설적이게도 헤비사이드의 논문은 수학식으로 도배되어 있다).
헤비사이드는 누구나 알고 있는 식 (1)을 주의깊게 살펴보았다.

여기서 <nobr>ω</nobr>(<nobr>=2πf=2π/T</nobr>)는 각주파수(角周波數, angular frequency)이며 <nobr>f</nobr>는 주파수(frequency)이다. 주파수(단위: Hz)는 [그림 2]처럼 1초에 특정 동작이 반복되는 회수이다. 각주파수(단위: rad/s)는 [그림 3]처럼 1초 동안 회전하는 각도를 라디안(radian, 아래 [그림 4] 참고)으로 나타낸 것이다. 예를 들어 1초에 한바퀴를 돌면 <nobr>2π</nobr>(= <nobr>360∘</nobr>)이므로 각주파수는 <nobr>2π</nobr> [rad/s]이 된다.

[그림 2] 주파수의 개념(출처: wikipedia.org)

[그림 3] 각주파수의 개념(출처: wikipedia.org)

[그림 4] 라디안의 정의(출처: wikipedia.org)

수학 연산을 고려하지 않고 다소 무식하게 식 (1)을 보면 <nobr>d/dt≡jω</nobr>라고 착각할 수 있다.
이거 말이 되는건가? 하지만 이것은 아주 위대한 착각이다. 이 성질을 이용하여 미분방정식 개념을 사용하지 않고 대수적으로만 미분방정식을 풀 수 있기 때문이다.
예를 들면 식 (1)의 좌변은 미분식이지만 우변은 복소수 기반의 대수식이기 때문에 미분식을 복소수로 해결할 수 있는 것이다. 즉, 미분해야 하는 것을 복소수 곱셈으로 계산할 수 있는 것이다. 이 개념을 확장하면 AC(교류, 交流, Alternating Current) 회로이론과 페이저 기반 맥스웰 방정식 등을 얻을 수 있다.

미분연산자를 숫자로 대체하는 기법은 어디서 많이 본 것 같지 않은가? 바로 라플라스 변환(Laplace transform)이 이 개념을 사용하고 있다. 라플라스 변환은 미분방정식을 대수적으로 해결하는 매우 유용한 방법(연산자 미분적분학: operator calculus)이다. 헤비사이드가 이런 라플라스 변환을 베낀 것은 아니고 라플라스 변환의 창안자가 헤비사이드이다. 하지만 헤비사이드가 사용한 적분식은 대(大)수학자 라플라스(Pierre-Simon Laplace)가 이미 제안한 것이라 이름을 라플라스 변환으로 붙였다.
미분연산자의 숫자 대체 기법이 잘 이해가지 않더라도 너무 실망하지 마라. 헤비사이드가 이 방법을 제안했을 때 당대 수학자들의 맹공을 받았다. 수학적으로 엄밀하지 않고 대수적으로 미분방정식을 해결할 수 있는 지 계속 의심을 많이 받았다. 하지만 헤비사이드는 개의치 않고 자기만의 방법을 계속 만들어갔다. 후에 브롬위치(Thomas John I'Anson Bromwich)가  라플라스 역변환(inverse Laplace transform)이 존재함을 복소함수론(complex analysis)으로 증명하여 라플라스 변환은 수학이론의 반열에 들게 된다.

또다른 측면에서 한가지 의문이 든다. 모든 시간변화 함수를 <nobr>exp(jωt)</nobr> 형태로 표현할 수 있는가?
이런 <nobr>exp(jωt)</nobr> 접근법의 타당성은 푸리에 급수(Fourier series) 혹은 푸리에 변환(Fourier transform)과 밀접하게 관련되어 있다.

지수함수 <nobr>exp(jωt)</nobr>를 기하학적으로 표현한 것이 [그림 1]이다. <nobr>ω</nobr>는 <nobr>2π⋅f</nobr>이므로 1초에 <nobr>f</nobr>개 만큼의 한바퀴 회전(<nobr>2π</nobr> or <nobr>360∘</nobr>)이 얻어진다. 이 모양을 [그림 1]이 정확하게 보여주고 있다.
또한, 오일러의 공식(Euler's formula)을 사용하면 지수함수를 삼각함수로 바꿀 수 있다.

그래서, [그림 1]은 이 복소 지수함수(complex exponential function)가 삼각함수 중에서 코사인(cosine)으로 바뀌는 모습을 보여준다. 식 (2)에서 실수부(real part)만 택하면 다음 페이저(phasor) 관계를 정의할 수 있다.

여기서 <nobr>A</nobr>는 전압(voltage)의 진폭(amplitude), <nobr>ϕ</nobr>는 전압의 위상(phase), <nobr>R(⋅)</nobr>은 복소수의 실수부(real part)를 얻는 함수이다. 식 (3)에서 알파벳을 굵게 표시한 <nobr>V</nobr>가 페이저가 된다. 페이저는 크기(amplitude or magnitude)와 위상(phase)으로만 구성이 되고 <nobr>exp(jωt)</nobr>는 생략한다. 또한 <nobr>v(t)</nobr>를 정의하기 위해 식 (3)처럼 페이저의 실수부를 택한 것은 큰 의미없다. (or 페이저의 허수부(<nobr>v(t)=J[Aej(ωt+ϕ)]=Asin(ωt+ϕ)</nobr>)를 택하더라도 전혀 문제없다.) 많은 연구자들이 페이저의 실수부를 택해 시간영역 전압을 정의하고 있으므로 식 (3)은 그냥 대세에 따른 것이다.

[그림 5] 페이저 합의 특성(출처: wikipedia.org)

페이저의 사칙연산은 복소수를 이용하여 쉽게 정의할 수 있다.

식 (6)은 식 (2)를 이용하여 지수함수를 삼각함수로 분해한 후 크기와 위상을 구하면 증명할 수 있다.
페이저의 빼기는 식 (6) 공식과 비슷하다. 단지 <nobr>A2→−A2</nobr>로 바꾸면 빼기 공식을 쉽게 얻을 수 있다.

페이저의 유용성은 평균 AC 전력(average AC power)을 계산할 때도 나타난다. 식 (3)을 이용하여 전압과 전류 페이저를 아래로 정의하자.

전기전력 정의 및 식 (7)과 (8)을 이용해서 평균 AC 전력을 계산하면 매우 단순화된 결과를 얻을 수 있다.

여기서 <nobr>Av,Ai</nobr>는 전압(voltage)과 전류(current)의 진폭을 나타내는 실수(real number)이며 세째식에 있는 <nobr>(⋅­)∗</nobr>는 켤레복소수(complex conjugate)를 의미한다. 페이저 정의인 식 (7)과 오일러의 공식(Euler's formula)을 이용해 식 (9)의 세째식을 다음과 같이 유도할 수 있다.

식 (9)를 보면 순시전력(瞬時電力, instantaneous power)은 시간변동 성분을 갖지만(∵ 시간에 따라 전압과 전류가 변하므로) 평균전력(平均電力, average power)은 상수인 것을 볼 수 있다. 그래서, 회로이론 전력계산은 순시전력이 아닌 평균전력을 주로 사용하게 된다.
평균전력의 유용성은 식 (11)에 제시한 전압과 전류의 위상차 관점에서도 생각할 수 있다.

식 (11)에 나타나는 코사인 함수는 보통 역율(力率, power factor)이라 부른다. 역율이 1이 되면(전압과 전류의 위상차가 0이면) 최대 평균전력이 나타나고 역율이 0이면(전압과 전류의 위상차가 90도 혹은 270도가 되면) 평균전력도 0이 된다.
왜 이런 현상이 나타나는가 하면 식 (9)에서도 알 수 있듯이 순시전력(= <nobr>v(t)⋅i(t)</nobr>)을 평균했기 때문이다. 전압과 전류의 위상이 맞지 않으면 주기동안 전력을 소모(+ 부호)하기도 하고 생산(- 부호)하기도 한다. 따라서 주기에 걸쳐 이런 기여도를 합치면 위상이 맞지 않아 전력이 줄어들게 된다.
식 (9)와 (11)을 보면 평균전력을 정의할 때 항상 전류의 켤레복소수를 취한다. 전압의 켤레복소수를 취하면 답이 틀리는가? 아니다. 틀리는 것은 없다. 하지만, 이것은 약속이기 때문에 전체이론에서 일관되게 사용해야한다. 비슷한 예를 볼 수 있는 것이 포인팅의 정리(Poynting's theorem)이다.
굳이 식 (9)와 (11)처럼 평균전력을 정의한 이유를 찾는다면 페이저 관점의 옴 법칙(Ohm's law) 때문이라 말할 수 있다.

식 (13)에 있는 옴의 법칙으로 인해 전압위상은 전류위상을 기준으로 정한다. 평균전력을 구하기 위해 식 (13)에 전류의 켤레복소수를 곱하면 전류위상이 약분되므로 쉽게 평균전력을 구할 수 있다.

[그림 6] 신호의 위상차(출처: wikipedia.org)

쉽게 얘기하면 평균 AC 전력을 정의할 때 전류의 켤레복소수를 취한 이유는 전압과 전류위상이 얼마나 일치하는 지 찾기 위해서이다. 신호간의 위상(or 모양)이 얼마나 차이나는 지 알려주는 것이 [그림 6]의 위상차(位相差, phase difference)이다. 즉, 켤레복소수를 취하면 전압과 전류의 위상차를 전류위상을 기준으로 빼서 아래와 같이 계산할 수 있다. 위상차(= <nobr>ϕv−ϕi</nobr>)가 없는 경우가 전력을 최대로 소비할 수 있는 경우이다.

식 (14)에서 위상이 같으면(or 동위상(in phase)이면 or <nobr>ϕv=ϕi</nobr>) 전력(= 전압과 전류의 곱)은 항상 양(+)이다. (∵ 신호의 크기를 나타내는 <nobr>Av,Ai</nobr>는 항상 양이기 때문에) 반대위상(out of phase)이면 전압과 전류의 부호가 반대이므로 전력은 음(-)이 된다. 전력이 음이 된다는 것은 전력을 소비하지 않고 생산한다는 뜻이다.
위상이 직교위상(quadrature phase: <nobr>ϕv=ϕi±π/2</nobr>)이면 전력은 식 (14)의 마지막식처럼 순허수가 된다. 순허수 전력의 의미를 알려면 직교위상 관계식(<nobr>ϕv=ϕi±π/2</nobr>) 을 식 (9)에 대입하면 된다. 페이저는 식 (3)의 정의처럼 실제신호를 편하게 표현하기 위해 사용한다. 위상이 90도만큼 차이나게 되면 식 (3)에서 코사인 함수는 사인 함수로 바뀐다. 즉, 평균전력을 계산할 때는 식 (15)처럼 코사인과 사인 함수의 곱을 적분해야 한다. 최종결과는 식 (11)에 있는 역율이다. 이 값은 분명히 0이므로 순허수 전력은 평균전력에 기여할 수 없다.

물론 순허수 전력의 순시전력이 항상 0이란 것은 아니다. (∵ 전류와 전압이 존재하기 때문에) 한주기에 대해 적분한 평균전력이 0인 것이다.