상대도수의 분포표는 도수분포표에서 도수가 상대도수로 바뀐 것뿐이에요. 마찬가지로 상대도수의 그래프는 도수가 상대도수로 바뀐 것 빼고는 히스토그램이나 도수분포다각형과 완전히 다 같아요.
히스토그램은 가로축에 계급의 양 끝값, 세로축에 도수였죠? 상대도수의 그래프는 가로축에 계급의 양 끝값, 세로축에 상대도수를 놓고 그래프를 그리면 돼요.
상대도수 그래프 그리기
- 가로축에 각 계급의 양 끝값을 적는다.
- 세로축에 상대도수를 적는다.
- 히스토그램이나 도수분포다각형을 그리는 방법과 똑같은 방법으로 그래프를 그린다.
상대도수 그래프의 특징
상대도수 그래프는 각 계급의 도수가 전체에서 차지하는 비율을 쉽게 알 수 있고, 전체 도수가 다른 자료와 비교할 때 매우 편리해요.
아래는 상대도수와 상대도수의 분포표의 예제 문제에 나왔던 상대도수를 이용하여 그래프로 나타낸 겁니다.
단순히 표에서 숫자를 이용해서 비교할 때보다 그래프로 나와 있으니까 훨씬 더 쉽게 알아볼 수 있겠죠?
상대도수 그래프의 넓이
도수분포다각형에서 그래프와 가로축으로 이루어진 부분의 넓이는 히스토그램의 직사각형의 전체 넓이와 같았어요.
상대도수의 그래프에서는 도수 대신 상대도수를 사용하니까 (계급의 크기) × (상대도수의 총합)이 되는데, 상대도수의 총합은 1이니까 넓이는 계급의 크기와 같죠.
도수분포다각형의 그래프와 가로축 사이의 넓이
= 히스토그램 직사각형의 전체 넓이
= (계급의 크기) × (도수의 총합)
상대도수의 그래프에서 그래프와 가로축으로 둘러싸인 넓이
= 계급의 크기
두 학급의 수학 점수를 상대도수 그래프로 나타낸 것이다. 파란색이 1반, 빨간색이 2반을 나타낼 때 물음에 답하여라.
(1) 1반에서 80점 이상 90점 미만인 학생 수가 10명이고 상대도수가 0.5일 때 1반의 전체 학생 수를 구하여라.
(2) 90점 이상인 학생 수의 비율이 더 높은 반은 몇
반인가?
(1)번에서 (상대도수) = (계급의 도수) ÷ (총 도수)에요. 1반의 전체 학생 수를 구하라고 했으니 총 도수를 구하란 말이네요. 식에 대입해 보죠.
0.5 = 10 ÷ x
x = 20
1반의 학생 수는 20명이네요.
(2)번에서는 실제 두 반에서 90점 이상인 학생이 몇 명인지 알 수도 없고, 상대도수도 몰라요. 하지만 그래프를 보면 그 숫자를 알지 못해도 누가 많은지는 알 수 있어요. 90점 이상 100점 미만의 계급에 1반의 선이 조금 더 위로 올라와 있죠? 따라서 90점 이상인 학생의 비율은 1반이 더 높다고 할 수 있겠네요.
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상대도수의 그래프
- 히스토그램과 도수분포다각형에서 도수 → 상대도수로 바꾼 것과 같다.
- 가로축에 각 계급의 끝 값, 세로축에 상대도수를 넣는다.
통계 단원에 점점 익숙해지고 있나요?
새로운 용어도 많이 나오고 표도 만들고 그래프도 그려야 해서 조금 어렵죠? 이 글에서도 새로운 용어와 표 만들기를 할 거예요. 하지만 어렵게 생각하지 마세요. 이미 공부했던 도수와 도수분포표에 숟가락 하나만 얹으면 되거든요.
상대도수
상대도수는 도수의 총합에 대한 각 계급의 도수의 비율을 말해요. 그러니까 전체에 대한 상대적인 크기죠. 상대도수를 식으로 쓰면 아래와 같아요.
계급의 상대도수 = (계급의 도수) ÷ (도수의 총합)
백분율 구할 때 어떻게 하나요? 전체 40개 중 20개의 백분율을 구할 때, 20 ÷ 40 × 100 = 50% 이렇게 구하죠? 상대도수를 구할 때는 뒤에 × 100만 빼주면 돼요. 전체 도수가 40이고, 어떤 계급의 도수가 20이면 이 계급의 상대도수는 20 ÷ 40 = 0.5인 거죠.
아래 표에서 총 도수는 20이고, 80점 이상 90점 미만의 도수가 10이죠. 그럼 80점 이상 90점 미만의 상대도수는 10 ÷ 20 = 0.5예요.
이런 식으로 각 계급의 상대도수를 모두 구하면 아래 표처럼 돼요.
| 60 이상 ~ 70 미만 | 1 | 1 ÷ 20 = 0.05 |
| 70 ~ 80 | 3 | 3 ÷ 20 = 0.15 |
| 80 ~ 90 | 10 | 10 ÷ 20 = 0.5 |
| 90 ~ 100 | 6 | 6 ÷ 20 = 0.3 |
| 합계 | 20 | 1 |
도수를 표로 나타낸 것을 도수분포표라고 하지요? 그럼 상대도수를 위 표처럼 나타낸 표를 뭐라고 할까요? 바로 상대도수의 분포표라고 합니다. 도수분포표에서 도수만 상대도수로 바뀐 것뿐이에요.
상대도수의 특징
상대도수의 분포표에서 상대도수의 총합은 1이에요.
상대도수의 분포표의 제일 마지막 칸을 볼까요? 상대도수의 총합이 얼마로 나오나요? 상대도수를 다 더해보죠. 0.05 + 0.15 + 0.5 + 0.3 = 1이죠. 위 표에서만 그런 것이 아니라 모든 상대도수의 분포표에서 항상 1이에요.
상대도수는 각 계급의 도수에 비례해요.
상대도수 구하는 식을 보죠. 도수의 총합은 일정하고 바뀌는 건 도수밖에 없어요. 그러니까 도수에 비례하는 거예요.
그냥 도수도 있는데, 왜 굳이 상대도수라는 걸 구할까요? 상대도수가 유용할 때가 있기 때문이겠죠? 언제 유용하냐?
바로 도수가 너무 커서 전체를 조사하기 힘들 때예요. 예를 들어서 전체 도수의 총합이 100만이고, 어떤 계급의 도수가 30,000, 40,000 이러면 숫자가 크니까 알아보기가 쉽지 않잖아요. 이럴 때 상대도수를 이용해서 숫자를 작게 하는 거죠.
또 도수의 총합이 다른 두 개의 자료를 비교할 때도 사용해요. 1반과 2반의 수학 점수를 비교하는데, 1반은 학생이 20명이고 2반은 25명이라면 단순히 80점 이상 90점 미만 학생 수를 비교할 수는 없겠죠? 이럴 때 상대도수를 이용해서 비교해요.
다음은 두 학급의 수학 성적을 나타낸 상대도수의 분포표이다. 물음에 답하여라.
(1) A, B, C, D의 값을
구하여라.
(2) 두 반 중 90점 이상인 학생의 비율이 더 높은 학급은 어디인지 구하여라.
| 60 이상 ~ 70 미만 | 1 | 0.05 | 3 | A |
| 70 ~ 80 | 3 | 0.15 | B | 0.12 |
| 80 ~ 90 | 10 | 0.5 | 14 | 0.56 |
| 90 ~ 100 | 6 | 0.3 | C | D |
| 합계 | 20 | 1 | 25 | E |
(1)번에서 A는 총 도수가 25이고, 도수가 3이니까 3 ÷ 25 = 0.12네요.
B는 두 가지 방법으로 구할 수 있어요. B ÷ 25 = 0.12에서 B = 0.12 × 25 = 3이라는 걸 알 수 있어요. 다른 방법으로 상대도수는 도수에 비례하니까 70점 이상 80점 미만의 도수, 상대도수와 비교할 수도 있고요. B : 0.12 = 14 : 0.56이라는 비례식을 만들 수 있죠.
C를 구해보죠. C는 도수도 비어있고, 상대도수도 비어있어서 다른 방법이 필요해요. 총 도수가 25니까 3 + B + 14 + C = 25가 되어야 해요. B는 위에서 3이었으니까 C = 5겠네요.
D는 5 ÷ 25 = 0.2가 되겠죠.
E는 상대도수의 총합인데, 상대도수의 총합은 무조건 1이에요. 따라서 E = 1입니다.
(2)번에서 90점 이상인 학생의 비율이 1반은 0.3이고 2반은 0.2니까 1반의 비율이 더 높군요.
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상대도수의 그래프
상대도수
- 전체 도수에 대한 계급의 도수의 비율
- 계급의 상대도수 = (계급의 도수) ÷ (총 도수)
- 상대도수의 특징
- 상대도수의 총 합은 항상 1
- 상대도수는 계급의 도수에 정비례
- 도수의 총합이 매우 크거나 도수의 총합이 서로 다른 두 자료를 비교할 때 사용