단면 1차 모멘트 문제 - danmyeon 1cha momenteu munje

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잊혀진다고 낙심하지말자.

잊어야할건 잊어버려도 좋다.

안녕하세요. 이번에는 기계공학 중, 재료역학에서 '단면상승모멘트'에 대한 문제를 풀어보겠습니다. 대학 수업 과정에서 단면'상승'모멘트는 거의 수업시간에 다뤄지지 않는데, 어느 시험을 준비하느냐에 따라 추가적으로 공부할 필요성이 있을 것 같아서 이렇게 풀이 예시를 올려봅니다. 공부하시는 분들께 도움이 되길 바랍니다. 궁금한 질문은 언제나 댓글을 이용해주시면 감사하겠습니다. 문제는 총 2개를 가져와봤습니다.

(해당 문제는 공기업 예상문제에서 가져왔습니다.)

[단면상승모멘트란?]

- 네이버 지식백과

→ 단면에 대하여 임의의 직교 2축 x,y를 생각하고 그 미소단면적을 dA로 했을 때 다음 식으로 나타내어지는 값.

→

→ 도심을 통하는 직각축에 대한 단면상승모멘트는 0이다.

[문제1]

그림 (a)와 같은 도형의 X, Y축에 관한 단면 상승 모멘트 I`xy 를 구하여라.

[문제풀이]

단면상승모멘트의 아주 기본적인 사각형에 대해서 구하는 문제입니다. 아래와 같이 단면모멘트의 개념식을 통해서 구할 수 있습니다. 문제에서 주어진대로 가로를 b, 세로를 h로 두고 풀어보겠습니다.

위와 같이 단면상승모멘트를 구할 수 있습니다.

[답]

같은 단면상승모멘트 문제이지만, 위 문제보다는 조금 더 어려운 문제를 가져와봤습니다.

[문제2]

다음 그림과 같은 도형의 X, Y축에 관한 단면 상승 모멘트 I`xy 를 구하여라.

[문제풀이]

처음부터 적분하여 풀지 않고 위 문제에서 구했던 답을 그대로 적용하겠습니다. 위 문제에서 구했던 사각형의 단면상승모멘트는  입니다. 위 2번째 문제에서는 ㄴ형의 구조를 가진 물체입니다. 이를 구하기 위해서는 사각형으로 3부분으로 나누어 구할 수 있습니다.

먼저, Y축에 붙어있는 가로 c, 세로 b 길이의 사각형과, X축에 붙어있는 가로 a, 세로 d 길이의 사각형의 단면상승모멘트를 더하고, 그 둘이 겹치는 부분인 빗금친 부분을 빼주면 됩니다.

이렇게 구한게 그대로 위 물체의 단면상승모멘트가 됩니다.

재료역학

단면 1차 모멘트의 모든것 - 도심 , 합성단면 등

모설 2019. 5. 21. 23:37

위의 그림에서 생각해 보겠습니다.

우선 단면 1차 모멘트라 하면 의미는 따로 없습니다. 이것으로 도심이나 극관성모멘트 등을 구할 수 있는 

하나의 도구라고 생각하시면 편할 것 같습니다.

단면 1차모멘트는 축에 대하여 정의되는데,

위의 그림에서 x축에 관한 단면 1차 모멘트 \(Q_x\) = ∫ydA 인데, 이것은 미소 단면적에서 x축까지의

수직거리와 미소 단면적을 곱해준 값이 됩니다.

마찬가지로 y축에 관한 단면 1차 모멘트 \(Q_y\) = ∫xdA 가 됩니다.

단면 1차 모멘트의 단위는 \(m^3\) 혹은 \(mm^3\)을 사용합니다.

이러한 단면 1차 모멘트로 단면적의 도심을 구할 수 있는데 바로

\(Q_x\) = ∫ydA = A\(\overline{y}\) 이 됩니다.

물론 \(Q_y\) = ∫xdA = A\(\overline{x}\) 도 성립합니다.

따라서 \(\overline{x}\) = \(\frac{∫xdA}{A}\) 인데 

구분구적분으로 \(\overline{x}\) = \(\frac{\sum x_iA_i}{A}\)  으로 표현하기도 합니다.

도심은 만약 단면이 대칭축을 가지고 있다면 그 대칭축 상에 위치하게 됩니다.

그리고 그 대칭축에 대한 모멘트값은 0이 됩니다.

또한 단면이 대칭중심점 O를 가지고 있을 경우 그 점을 통과하는 축에 대한 모멘트값은 0이 됩니다.

그림으로 보면 위의 그림에서 O를 기준으로 대칭을 이루고 있습니다. 여기서 O를 통과하는 축에 대한 

모멘트 값은 0이 됩니다.

그렇다면 단면 1차 모멘트를 통해 도심을 구하는 법을 생각해 보겠습니다.

위의 그림에서 직사각형을 생각해보면 x축에 대한 단면 1차 모멘트 값은

∫ydA인데 여기서 dA = b*dy가 되되므로

∫ydA= \(\int_{0}^{h}\)ybdy 가 됩니다.

따라서 그 값은 \(\frac{bh^2}{2}\) 가 되고

이것은 A\(\overline{y}\)가 됩니다.

따라서 \(\overline{y}\) = \(\frac{bh^2}{2A}\) = \(\frac{h}{2}\) 가 됩니다.

물론 도심의 y좌표는 직관적으로 \(\frac{h}{2}\) 임을 알 수 있습니다.

x축에서도 방법은 동일합니다.

이것을 삼각형에서도 해보겠습니다.

그림에서 미소 단면의 높이가 dy이고 밑변이 u일때

b : h = u : h-y 가 성립합니다.

따라서 u=\(frac{b(h-y)}{h}\) 이고 dA=udy입니다.

\(Q_x\) = \(\int_{0}^{h}\)yudy = \(frac{b}{h}\)\(\int_{0}^{h}\)y(h-y)dy = \(frac{bh^2}{6}\)

이 됩니다.

복잡한 단면일 경우

위의 그림과 같이 나누어서 계산하면 됩니다.

\(\overline{x}\) = \(\frac{\sum x_iA_i}{A}\) 이므로 그 값을 더해주면 도심의 좌표를 구할 수 있습니다.