이 시뮬레이션에서 사용된 기호의 뜻은 다음과 같습니다.
특수 상대성 이론특수 상대성 이론은 빛의 속도와 같이 매우 빨리 이동하는 물체를 다루는 물리 이론입니다. 물체의 속도가 증가하면, 고전 역학(뉴턴 역학)으로 설명할 수 없는 현상들이 나타납니다. 이를 설명하기 위한 이론이 특수 상대성 이론이며, 고전 역학과 완벽하게 호환됩니다. 특수 상대성 이론은 누구나 알고 있는 유명한 물리학자, 알버트 아인슈타인의 아이디어입니다. 가정특수 상대성 이론은 다음과 같은 두 개의 가정으로부터 시작됩니다.
특수 상대성 이론으로 인해 일어나는 일들특수 상대성 이론에 따르면 다음과 같은 재미있는 일들이 일어납니다.
시간 팽창(시간 지연)빠른 속도로 이동중인 물체 내부의 시간은 천천히 흐릅니다. 우주선이 정지해 있는 경우 우주선 안과 바깥이 동일한 관성계입니다. 우주선이 속력 \(v\)로 움직이는 경우내부 관찰자가 보았을 때,
우주선 바닥에서 방출된 빛이 천정까지 이동하는데 걸리는 시간 및 거리는 우주선이 정지했던 경우와 동일합니다(우주선의 이동 방향과 관계없는 수직 방향). 외부에서 보았을 때는, 우주선이 \(v\)의 속도로 이동하고 있으므로 빛은 빗변과 같은 경로로 이동하며 이동거리는 다음과 같이 구할 수 있습니다. 외부에서 보는 우주선의 이동 거리는 \(vt\)이므로, 피타고라스 원리에 의해 다음의 식이 성립합니다. 위 식을 \(t\)에 대해 풀면 다음과 같습니다. \(v\)가 0이 아니라면, \(t\)는 \(t_o\)보다 항상
깁니다. 즉, 움직이는 관성계의 시간은 팽창됩니다. 길이 수축길이 수축에 대한 설명은 https://javalab.org/special_relativity_2/을 참고 바랍니다. 세상에 변하지 않는 것은 시간이라고 생각하고 있었다. 미적분 문제를 풀다가 아인슈타인의 상대성이론을 보았다. 뉴턴은 아래와 같이 힘을 구할 때 질량을 상수로 보았다. 이것은 아주 쉽게 이해할 수 있었다. $$F=\frac{d}{dt}mv=m\frac{d}{dt}v=ma$$ 1905년 아인슈타인은 속도가 $v$인 물체의 질량 m은 아래와 같이 정해진다고 말했다. ($m_0$는 정지해 있을 때 질량) $$m=\frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$ 갑자기 아인슈타인이 내세운 식을 이해하고 싶어졌다. 그래서 찾아 본 내용을 정리해 둔다.
갈릴레이 상대성 원리에 따르면 속도 $v$로 달리는 기차에서 움직이는 방향과 같은 방향으로 속도 $v_1$로 던진 물체는 기차 밖에서 보면 $v+v_1$로 보인다. 그런데 빛과 같은 속도 $c$로 움직이는 전자기파는 $v+c$로 관측되지 않고 $c$로 관측되었다.(1881 마이켈슨-몰리의 실험) 상당히 빠른 속도 $v$로 날아가는 로켓이 있다. 전자기파를 로켓이 움직이는 방향과 수직으로 보내면 거울에 반사되어 제자리로 되돌아 온다. 아래 그림은 안과 밖에서 보이는 전자기파를 그린 것이다. 피타고라스 정리를 써서 정리해 보자. $$\begin{split}(ct)^2 &=(ct_0)^2 +(vt)^2\\(c^2-v^2)t^2&=(ct_0)^2\\t&=\displaystyle{\frac{t_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}}\end{split}$$ 이 식에 따르면 로켓의 속도가 광속에 가까워질수록 밖에서 관측되는 시간은 한없이 늘어난다. 이제 질량 사이의 관계를 구해 보자. 운동량은 보존되므로 $m_0v_0=mv$이다. 여기에 위에서 찾은 시간을 대입해서 정리해 보자. $$m_0v_0=mv=m\frac{L}{t}=m\frac{L}{t_0}\times\sqrt{1-v^2/c^2}=m v_0 \sqrt{1-v^2/c^2}$$ $$\therefore \;\;m=\frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\tag{1}$$ 이제부터는 미적분이다. 먼저 아래와 같은 선형근사(linearization)를 이용하자. $$(1+x)^k\approx 1+kx$$ $$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=(1-x^2)^{- 1/2}\approx 1+\frac{1}{2}x^2$$ $$m\approx m_0 \bigg( 1+\frac{1}{2} \times (v/c)^2\bigg)$$ $$m-m_0 \approx \frac{1}{2} \times m_0 (v/c)^2 $$ $$(m-m_0)c^2 \approx \frac{1}{2} \times m_0 v^2 $$ 오른쪽에 있는 식은 운동에너지이다. 따라서 질량의 변화량 $\times$ 광속의 제곱의 값은 운동에너지로 근사할 수 있다. $$\Delta m c^2 \approx \frac{1}{2} \times m_0 v^2 =KE $$ 아래는 정말 널리 알려진 에너지 공식이다. $$E=mc^2$$ 이걸 미적분으로 좀더 정확하게 구해보자. 일은 $W=F\times \Delta s$임을 알고 있다. 이것을 적분으로 표현하면 아래와 같다. $$W=\int_{0}^{s} F ds=\int_{0}^{s} \frac{d(mv)}{dt} ds=\int_{0}^{t}\frac{d(mv)}{dt} \frac{ds}{dt} dt=\int_{0}^{mv} vd(mv)$$ 이제 위에서 구한 질량 사이 관계식 (1)을 대입하여 부분적분을 하자. $$\begin{split}&=\int_{0}^{v}vd\bigg(\frac{m_0 v}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\bigg)\\&=\bigg[ v \bigg(\frac{m_0 v}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\bigg) \bigg]_{0}^{v}-\int_{0}^{v} \bigg(\frac{m_0 v}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\bigg) dv\end{split}\tag{2}$$ 다음은 뒷부분을 치환적분하자. $$u=\sqrt{1-v^2/c^2},\;\;\;\;u^2=1-v^2/c^2, \;\;\;\;u^2 c^2 =c^2-v^2$$ $$c^2 \cdot 2u du=-2v dv,\;\;\;\;c^2 \cdot u du=-v dv,\;\;\;\; vdv=-c^2 udu$$ $$\begin{split}&-\int_{0}^{v} \bigg(\frac{m_0 v}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\bigg) dv\\&= -\int_{v=0}^{v=v}\frac{m_0}{u}(-c^2 udu)\\&=\int_{v=0}^{v=v}\frac{m_0c^2}{u}udu \\&=m_0c^2\int_{v=0}^{v=v}du \\&=m_0c^2[u]_{v=0}^{v=v}=m_0c^2[\sqrt{1-v^2/c^2}]_0^{v}\\&=m_0c^2[\sqrt{1-v^2/c^2}-1]\end{split}$$ (2)식에 넣어서 정리해 보자. $$ =\frac{m_0v^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}+ m_0 c^2 \sqrt{1-v^2/c^2} -m_0c^2 $$ 여기에 다시 (1)을 변형한 식 $m_0=m\sqrt{1-v^2/c^2}$을 넣어서 정리하자. $$\begin{split}&=mv^2 +m\sqrt{1-v^2/c^2} c^2 \sqrt{1-v^2/c^2}-m_0 c^2 \\&=mv^2 +mc^2 -mv^2 -m_0c^2\\&=mc^2 -m_0 c^2 =\Delta m c^2\end{split}$$ |
특수상대성이론 식 - teugsusangdaeseong-ilon sig
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