세종대 논술 문제 - sejongdae nonsul munje

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수면의 높이 h(t) = 9일 때 시각 t의 값은?

위 식에 대입하면

81t = 10 × 81 - 3 × 81에서 t = 7

정답 7 (sec)

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[문제 1-2]의 풀이 및 해설입니다...

[문제 1-1]에서 얻은 y와 t의 관계식에서 음함수 미분법 한 방으로 끝이지요...

y' = dy/dt가 h'(t)이니까요...

위 애니메이션과 그래프는 참조용인데, 문제 해결과는 직접적인 상관이 없습니다. 괜히 방해가 된다 싶기는 한데, 수면의 높이 y와 그때의 시각 t의 관계를 그려 놓은 거다 생각해 주시면 되겠고요...

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[문제 1-3]의 풀이 및 해설입니다...

보라색을 t로 미분하면 d2y/dt2을 얻을 수 있고, 핑크색을 y로 미분하면 d2t/dy2을 얻게 되겠군요...

파란색 식의 양변을 t로 한 번 더 미분해도 되구요...

이들 모두 계산하여 서로 간에 어떤 관계가 있는지 살펴 보겠습니다...

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두 번째 문제의 풀이 및 해설

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[문제 2-1]의 풀이 및 해설입니다...

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매개변수 미분법과 폐구간의 곡선의 길이를 구하는 공식에 대해서는 게시글 [서울대 심층구술면접] 주제별 탐구 - 벡터의 미분과 타원의 둘레에 있는 팁 "매개변수 미분법", "정적분을 이용한 곡선의 길이 공식"을 참조하십시오.

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[문제 2-2]의 풀이 및 해설입니다...

[문제 2-1]의 애니메이션에 있는 핑크색 점 P에서의 파란색 접선의 방정식을 구하는 문제죠...

t = 1일 때 접선의 기울기 dy/dx = -3/4이고, P(7, -11)을 지나므로

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[문제 2-3]의 풀이 및 해설입니다...

이등변삼각형 ABD

주황색 밑변 직선 BD의 기울기를 알아내면 되겠는데,,,

먼저 움직이고 있는 보라색 두 직각삼각형이 합동임을 생각해서 파란색 접선과 x축으로 이루어지는 각 A의 이등분선의 방정식을 점과 직선 사이의 거리 공식으로 얻습니다.

직교하는 두 개의 보라색 직선의 방정식을 얻게 되겠는데,,, 하나는 기울기가 -1/3, 다른 하나는 3으로 서로 수직이지요... +3을 취하면 되겠고.

오른쪽 위에 녹색으로 써 놓았듯이 탄젠트의 배각 공식으로 얻을 수도 있습니다.

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세 번째 문제의 풀이 및 해설

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[문제 3-1]의 풀이 및 해설입니다...

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[문제 3-2]의 풀이 및 해설입니다...

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다른 풀이입니다...

g(-1) = a(a(1 + k)2 - k)2​

g(0) = a(ak2 - k)2

a > 0, -k > 0이므로 a(1 + k)2 - k > 0이고,​

ak2 - k = k(ak - 1)에서 ak2 - k > 0.

이차함수 y = ax2 (a > 0)이 x > 0에서 증가함을 생각하면, 조건 g(-1) ≤ g(0)은 조건 a(1 + k)2 - k ≤ ak2 - k와 동치...

이 부등식을 풀면 (1 + k)2 ≤ k2 ⇔ 1 + 2k ≤ 0 ⇔ k ≤ -1/2

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[문제 3-3]의 풀이 및 해설입니다...

이상의 논의에서 이차함수 f(x) = a(x - k)2이 x = k에 대하여 대칭인 아래로 볼록인 곡선일 때 합성함수 g(x) = f(f(x)) 역시 x = k에 대하여 대칭인 아래로 볼록인 곡선이며 g(x) > 0였습니다.

그렇다면,

h(x) = g(g(-x))에서 g(-x)가 g(x)를 y축에 대칭시킨 함수이므로 y = h(x)의 그래프는 x = -k에 대칭인 아래로 볼록인 곡선이며 h(x) > 0일 것으로 사료됩니다.

그렇다면,,,

주어진 정적분 등식을 만족하는 p의 값은 -k뿐이며, 조건 (다)에 의하여 k ≤ -1/2이었으므로 -p ≤ -1/2에서 p ≥ 1/2이고 따라서 p의 최솟값은 1/2

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이를 수리적으로 논증하는 문제라고 보시면 됩니다...

h(x) = g(g(-x))

h'(x) = -g'(g(-x))g'(-x)

h''(x) = g''(g(-x))(g'(-x))2 + g'(g(-x))g''(-x)

임의의 실수 x에 대하여 g''(x) > 0이므로 g''(g(-x)), 그리고 (g'(-x))2 ≥ 0.

한편, g'(x) = 2a(f(x) - k) × 2a(x - k)에서 a > 0, -k > 0, g(-x) > 0이므로 g'(g(-x)) > 0.

따라서 h''(x) > 0로 h(x)는 아래로 볼록이고,,,

모든 실수 x에서 g(x) > 0이고 앞에서와 같은 까닭으로 극솟값 h(-k) = g(g(k)) > 0이며,,,

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함수 g(x)의 그래프가 직선 x = k에 대하여 대칭이므로 임의의 실수 x에 대하여 g(k + x) = g(k - x)이고, 따라서 h(-k - x) = g(g(k + x)) = g(g(k - x)) = g(g(-(-k + x))) = h(-k + x)에서 h(-k - x) = h(-k + x)가 되므로 함수 h(x)의 그래프는 함수 g(-x)의 그래프와 마찬가지로 직선 x = -k에 대하여 대칭...

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결국, 아래에서 보듯이,,,

주황색 함수 h(x)의 그래프는 제1사분면의 직선 x = -k에 대하여 대칭인 것만 다를 뿐 바로 앞 보라색 그래프와 흡사합니다...

문제의 정적분 등식에서 h(x) > 0이므로 정적분이 넓이임을 생각하면 대칭에 의하여 p < -k일 때는 좌변이 크고 p > -k일 때 우변이 크므로 p = -k일 때만 등식이 성립하지요...

그렇다면, 조건 (다)에 의하여 k ≤ -1/2이었으므로 -p ≤ -1/2에서 p ≥ 1/2이고 따라서 p의 최솟값은 1/2

f(x)가 이차함수, g(x)가 사차함수, h(x)가 팔차함수입니당 ㅎ

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이상입니다...

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끝으로 해설 특강 동영상을 덧붙입니다.

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