미지수가 2개인 연립부등식 - mijisuga 2gaein yeonlibbudeungsig

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‘연립방정식’의 해를 구하는 것은 2개 이상의 방정식을 동시에 만족시키는 해를 구하는 걸 의미합니다. x와 y 또는 a와 b처럼 서로 다른 미지수 2개가 포함된 연립방정식 문제가 주어졌는데 어떻게 풀어야 할 지 막막하다면 푸는 방법을 확실하게 배우세요. 기초대수학 개념과 분수 계산법을 이용해서 해를 구하면 됩니다. 혹시 학교 수학문제에 그래프를 이용해서 풀어야 한다고 명시되어 있나요? 혹은 시각적인 도구가 있어야 이해가 잘 되는 타입인가요? 그럼 그래프를 이용해서 푸는 방법을 배우세요. 그래프를 그리면 방정식의 개념을 ‘보다 확실하게’ 이해할 수 있고 또한 답이 맞는 지 확인할 때도 유용합니다. 하지만 그래프를 이용해서 푸는 방법은 대입법 또는 가감법을 사용할 때보다 시간이 더 오래 걸립니다. 그리고 어떤 문제에서는 사용하기 적합하지 않습니다.

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   두 미지수를 각각 다른 변으로 옮기세요. ‘대입법’을 사용할 때는 두 방정식 중 하나를 ‘x에 관한 식’으로 바꿔야 합니다. 예를 들어서 두 방정식 4x + 2y = 8 그리고 5x + 3y = 9가 있을 경우 우선 첫 번째 방정식을 정리하세요. 양변에 2y를 빼서 정리하면 4x = 8 - 2y가 됩니다.

   • 대입법을 사용할 때는 분수를 계산해야 하는 경우가 많습니다. 분수 계산을 싫어한다면 아래에서 설명하는 가감법을 확인하세요.

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   양변에 나눗셈을 해서 ‘x에 관한 식’으로 바꾸세요. 한 변에 x(혹은 다른 미지수)가 있을 경우 양변에 나눗셈을 해서 x만 남도록 만드세요. 아래와 같은 방식으로 정리하면 됩니다.

   • 4x = 8 - 2y
   • (4x)/4 = (8/4) - (2y/4)
   • x = 2 - ½y

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   정리한 식을 두 번째 방정식에 대입하세요. 앞서 이미 사용한 첫 번째 방정식이 아니라 두 번째 방정식에 대입해야 합니다. 두 번째 방식에 있는 미지수 x 자리에 앞서 정리한 식을 대입하세요. 그럼 미지수 y만 남게 됩니다. 아래와 같은 방식으로 푸세요.

   • x = 2 - ½y라는 걸 이미 알고 있습니다.
   • 정리하지 않은 두 번째 방정식은 5x + 3y = 9입니다.
   • 두 번째 방정식에 있는 x에 (2 - ½y)를 대입하세요: 5(2 - ½y) + 3y = 9

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   남아 있는 미지수 값을 구하세요. 이제 방정식에 미지수가 하나만 남았습니다. 일반적인 대수학 개념을 이용해서 남아 있는 미지수(y)의 값을 구하세요. 두 미지수가 모두 소거되었다면 마지막 단계로 바로 넘어가세요. 두 미지수가 모두 소거되지 않았을 경우, 남아 있는 미지수 값을 구해야 합니다.

   • 5(2 - ½y) + 3y = 9
   • 10 – (5/2)y + 3y = 9
   • 10 – (5/2)y + (6/2)y = 9 (풀이과정이 이해가 안된다면 분수 덧셈을 배우세요. 대입법을 사용할 경우 항상은 아니지만 종종 분수 덧셈을 활용해야 합니다.)
   • 10 + ½y = 9
   • ½y = -1
   • y = -2

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   방금 구한 y값을 이용해서 나머지 미지수 값을 구하세요. 문제를 풀다가 도중에 멈추지 마세요. 위에서 구한 y값을 원래 방정식에 다시 대입해서 나머지 미지수(x)의 값을 구해야 합니다.

   • y = -2라는 걸 이미 알고 있습니다.
   • 두 방정식 중 하나는 4x + 2y = 8입니다. (두 방정식 중 어느 걸 사용해도 상관없습니다.)
   • y에 -2를 대입하세요: 4x + 2(-2) = 8
   • 4x - 4 = 8
   • 4x = 12
   • x = 3

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   두 미지수가 모두 소거된 결과의 뜻을 이해하세요. 예를 들어서 x = 3y + 2 또는 이와 비슷한 식을 두 번째 방정식(원래의 두 방정식 중 재배열하지 않은 방정식)에 대입해서 미지수가 하나만 남게 만들어야 합니다. 그러나 미지수가 하나도 남지 않는 경우도 있습니다. 풀이과정을 다시 검토한 뒤 재배열한 식을 두 번째 방정식에 대입하세요. 풀이과정에서 실수가 없었다면 아래의 두 가지 결과 중 하나에 도달하게 됩니다.[1]

   • 예를 들어서 3 = 5처럼 미지수가 하나도 없는 식인데 성립하지 않을 경우, 방정식의 해가 없음이라고 적으세요. 두 방정식을 그래프로 그려보면 서로 평행해서 절대 교차하지 않는다는 걸 확인할 수 있습니다.
   • 예를 들어서 3 = 3처럼 미지수가 하나도 없는 식이 성립할 경우, 방정식의 해가 무수히 많음이라고 적으세요. 두 방정식은 서로 일치합니다. 두 방정식을 그래프로 그려보면 정확히 일치하는 직선이라는 걸 확인할 수 있습니다.

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   소거시킬 수 있는 미지수를 찾으세요. 때로는 두 방정식을 서로 더하면 미지수 하나가 바로 ‘소거’되는 경우도 있습니다. 예를 들어서 두 방정식 3x + 2y = 11 그리고 5x - 2y = 13을 합치면 +2y와 -2y는 서로 상쇄되기 때문에 미지수 y를 없앨 수 있습니다. 문제에서 주어진 두 방정식을 보고 어떤 미지수가 바로 소거되는 지 확인하세요. 만약 두 미지수 중 바로 소거되는 미지수가 없다면 다음 단계를 참고하세요.

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   두 방정식 중 하나에 곱셈을 해서 미지수 하나를 소거하세요. 미지수 하나가 바로 소거될 경우 이번 단계는 생략해도 됩니다. 바로 소거되지 않을 경우 두 방정식 중 하나를 바꿔야 합니다. 아래의 예시를 보면 이해하기 더 쉽습니다.

   • 연립방정식 3x - y = 3 그리고 -x + 2y = 4가 있습니다.
   • 첫 번째 방정식을 바꿔서 미지수 y를 소거하세요. 원할 경우 x를 소거해도 됩니다. 답은 여전히 같습니다.
   • 첫 번째 방정식의 - y와 두 번째 방정식의 + 2y를 서로 상쇄시켜야 합니다. - y에 2를 곱하면 서로 상쇄시킬 수 있습니다.
   • 첫 번째 방정식의 양변에 2를 곱하세요. 2(3x - y) = 2(3) 이렇게 곱하면 6x - 2y = 6이 됩니다. 이제 - 2y와 두 번째 방정식의 +2y를 서로 상쇄시키세요.

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   두 방정식을 합치세요. 두 방정식을 합칠 때는 좌변끼리, 우변끼리 각각 더하면 됩니다. 앞선 단계에서 방정식을 제대로 바꿨다면 두 미지수 중 하나는 소거됩니다. 두 방정식을 아래와 같은 방식으로 합치세요.

   • 주어진 두 방정식은 6x - 2y = 6 그리고 -x + 2y = 4입니다.
   • 좌변을 합치세요: 6x - 2y - x + 2y = ?
   • 우변을 합치세요: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4

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   하나 남은 미지수 값을 구하세요. 두 방정식을 합친 식을 정리한 후 기초대수학 개념을 이용해서 하나 남은 미지수(x) 값을 구하세요. 두 방정식을 합친 식에 미지수가 없다면 마지막 단계로 바로 넘어가세요. 그러나 미지수가 있을 경우, 미지수 값을 구해야 합니다. 아래의 풀이과정을 확인하세요.

   • 주어진 식은 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4입니다.
   • x끼리 같이 적고 y끼리 같이 적으세요: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4
   • 식을 정리하세요: 5x = 10
   • x값을 구하세요. (5x)/5 = 10/5이므로 x = 2입니다.

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   나머지 미지수 값을 구하세요. 한 개의 미지수 값을 알지만 아직 계산이 다 끝난 건 아닙니다. 이미 알고 있는 미지수(x) 값을 원래 방정식에 대입해서 나머지 미지수(y) 값을 구하세요. 아래와 같은 방식으로 풀면 됩니다.

   • x = 2 그리고 두 방정식 중 하나는 3x - y = 3입니다.
   • x에 2를 대입하세요: 3(2) - y = 3
   • y값 구하세요: 6 - y = 3
   • 6 - y + y = 3 + y는 6 = 3 + y와 같습니다.
   • 3 = y

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   두 미지수가 모두 소거된 식을 이해하세요. 가끔씩 두 방정식을 합친 결과가 이상하게 보이거나 혹은 여전히 답을 모르겠을 때가 있습니다. 풀이과정을 처음부터 다시 검토하세요. 만약 실수를 전혀 하지 않았다면 아래 답변 중 하나를 적으세요.[2]

   • 두 방정식을 합쳐서 미지수를 전부 소거했는데 2 = 7처럼 식이 성립하지 않다면 두 방정식을 동시에 만족시키는 해가 없음이라고 적으세요. 두 방정식을 그래프로 그려보면 서로 평행해서 절대 교차하지 않는다는 걸 확인할 수 있습니다.
   • 두 방정식을 합쳐서 미지수를 모두 소거한 결과가 0 = 0과 같이 성립하는 식이라면 해가 무수히 많음이라고 적으세요. 두 방정식은 서로 일치합니다. 두 방정식을 그래프로 그려보면 정확히 일치하는 직선이라는 걸 확인할 수 있습니다.

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   그래프를 이용해서 풀어야 한다고 문제에 명시되어 있을 경우에만 이 방법을 사용하세요. 컴퓨터 또는 그래핑 계산기를 사용하지 못할 경우, 그래프를 이용해서 연립방정식의 해를 구하는 문제는 근사값을 구하라는 문제가 많습니다.[3] 수학시간에 이 방법을 배우는 이유는 방정식의 그래프를 직선으로 간주하면 이해하기 더 쉽기 때문입니다. 또한 가감법 및 대입법으로 구한 답이 정확한 지 확인할 때 사용할 수 있습니다.

   • 간단하게 말하자면 두 방정식의 그래프를 그린 뒤 교차점을 찾는 겁니다. 교차점 좌표의 x값과 y값이 연립방정식 해의 x값과 y값입니다.

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   y에 관한 방정식의 해를 구하세요. 두 방정식을 따로 풀어야 합니다. 각각의 방정식을 y = __x + __ 같은 형태로 바꾸세요.[4] 아래와 같은 방식으로 정리하면 됩니다.

   • 첫 번째 방정식은 2x + y = 5입니다. y = -2x + 5로 바꾸세요.
   • 두 번째 방정식은 -3x + 6y = 0입니다. 6y = 3x + 0으로 바꾼 뒤 y = ½x + 0으로 정리하세요.
   • 두 방정식이 서로 일치할 경우 직선 위에 존재하는 모든 점들이 ‘교차점’입니다. 해가 무수히 많음이라고 적으세요.

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   좌표축을 그리세요. 모눈종이에 ‘y축’을 수직으로 긋고 ‘x축’을 수평으로 그으세요. 두 축이 만드는 점에서부터 시작해서 1, 2, 3, 4 … 같은 방식으로 칸을 표시하세요. y축이 위쪽으로 가면서 그리고 x축이 오른쪽으로 가면서 숫자가 더 커져야 하고 y축이 아래쪽으로 가면서 그리고 x축이 왼쪽으로 가면서 숫자가 더 작아져야 합니다. 음수의 경우 -1, -2, -3 … 같은 방식으로 표시하세요.

   • 모눈종이가 없다면 자를 사용하세요. 칸을 똑같은 간격으로 표시해야 합니다.
   • 좌푯값이 큰 숫자 또는 소수일 경우 다른 비율을 사용해야 합니다. 예를 들어서 1, 2, 3 대신에 10, 20, 30 또는 0.1, 0.2, 0.3을 사용하세요.

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   두 선의 y절편에 점을 각각 찍으세요. 방정식을 y = __x + __ 형태로 만든 뒤 직선의 y절편에 점을 찍어서 그래프를 그리세요. 두 번째 빈 칸에 들어가는 숫자가 y절편입니다.

   • 이번 예시에서 사용된 직선(y = -2x + 5)의 y절편은 5입니다. 다른 직선(y = ½x + 0)의 y절편 0입니다. 좌표평면에 두 점 (0,5) 그리고 (0,0)을 찍으세요.
   • 되도록이면 각각 다른 색깔의 펜 또는 연필을 사용해서 두 선을 그으세요.

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   두 선을 연장할 때 기울기를 활용하세요. y = __x + __ 같은 형태의 함수에서 x 앞에 있는 숫자는 선의 기울기를 나타냅니다. x값이 1씩 증가할 때마다 y값은 기울기 값만큼 증가합니다. 이 특징을 이용해서 두 선의 x값이 1일 때의 지점을 각각 표시하세요. 두 방정식에 있는 x에 1을 대입해서 y값을 각각 구해도 됩니다.

   • 이번 예시에서 사용된 직선 y = -2x + 5의 경우, 기울기가 -2입니다. x = 1일 때 y값은 x = 0인 지점에서 2칸 아래로 내려간 지점의 y값입니다. (0,5) 그리고 (1,3)을 잇는 직선을 그으세요.
   • 직선 y = ½x + 0의 기울기는 ½입니다. x = 1일 때 y값은 x = 0인 지점에서 ½칸 위로 올라간 지점의 y값입니다. (0,0) 그리고 (1,½)을 잇는 직선을 그으세요.
   • 두 선의 기울기가 같을 경우 절대 교차하지 않으며 연립방정식의 해는 없습니다. 해가 없음이라고 적으세요.

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   두 선이 교차할 때까지 선을 계속 연장하세요. 잠깐 동안 그래프를 확인하세요. 두 선이 이미 교차하고 있다면 다음 단계로 바로 넘어가면 됩니다. 만약 교차하지 않았다면 아래와 같은 방식으로 선을 연장하세요.

   • 두 선이 서로 가까워지고 있다면 계속 그 방향으로 선을 연장하세요.
   • 두 선이 서로 더 멀어진다면 다른 방향으로 선을 연장하세요. x = -1인 지점에서 시작하세요.
   • 두 선이 전혀 가까워지지 않는다면 선을 훨씬 더 길게 그으세요. 예를 들어서 x = 10인 지점까지 그어보세요.

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   교차점의 좌표를 구하세요. 두 선이 교차하는 점의 좌표를 구하세요. 좌표의 x값과 y값이 방정식의 해입니다. 그래서 좌푯값이 정수일 때는 답이 간단합니다. 예를 들어서 교차점의 좌표가 (2,1)일 경우, x = 2 그리고 y = 1입니다. 하지만 가끔씩 교차점의 좌표가 정수가 아닐 때가 있습니다. 이 경우, 그래프를 아주 정밀하게 그리지 않는 이상 x값과 y값을 정확히 알 수 없습니다. 이럴 때는 ‘x값은 1과 2 사이에 있는 값’이라고 나타내거나 대입법 또는 가감법을 사용해서 정확한 값을 구하세요.

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팁

• 방정식의 해를 다시 대입해보면 답이 맞는 지 아닌 지 확인할 수 있습니다. 예를 들어서 해를 원래의 방정식에 대입했을 때 3 = 3 같은 식이 된다면 정확한 답을 구한 겁니다.
• 가감법의 경우, 두 방정식 중 하나에 음수를 곱해서 미지수를 소거할 때도 있습니다.

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경고

• x2과 같이 미지수에 지수가 있을 경우, 위에서 설명한 방법들을 사용할 수 없습니다. 지수가 있는 미지수를 포함한 방정식을 풀기 위해서는 미지수가 2개인 2차방정식을 인수분해하는 방법을 배워야 합니다.[5]

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