미적분,공학수학
[공학수학]2계 미분방정식 비제차-론스키안 해법
이번에 비제차 미방의 또다른 풀이법은 론스키안 해법입니다. 이 해법은 사실상 거의 모든 특수해를 구할때 사용가능합니다.
다만 오래 걸릴수 있다는 단점이 있죠
론스키안 이 무엇인가??
선형대수를 할줄 안다면 이미 알고 있을 개념이지만, 종속과 독립에 관해 설명 드리겠습니다.
정말 간단히 요약한 것인데 쉽게 말하면 각각의 함수 fn 들이 앞의 상수를 통해서 곱하고 빼서 위 식이 성립 되면 각각의 함수는 종속이라는 것입니다 . 즉 서로 연관이 있다는 것으로 이해 해도 무관합니다.
예로
f1 = x-1
f2 = 5x-5
위 의 2개의 함수가 있을때 서로 상수5를 곱한 관계가 존재하면 종속입니다. 그러나
e^3x 와 sinx 가 각각 f1,f2라면 각 함수에 상수c를 곱해서 서로의 함수 형태로 만들수가 없습니다. 이런 경우 두 함수를 독립이라고 합니다.
이런 종속과 독립을 알아보는 행렬식이 기본 론스키안의 용법입니다.
론스키안 행렬식에 대해 알아보면
위 행렬식을 통해서 각 함수가 독립인지 종속인지 알수 있는 것입니다.
이전장 즉 미정계수법에서 설명드린것 처럼 y의 제차형태의 일반해와 특수해가 각각 종속 관계가 존재해 중첩의 원리가 설명이 됬던 것입니다.(증명은 하지 않겠습니다 너무 길어서)
이런 론스키안 행렬을 사용해서 특수해를 구할수가 있는 것이지요
간단한 예를 들어서 론스키안 을 사용하는 방법을 설명하겠습니다.
이런 론스키안으로 독립과 종속을 확인해 해라는 것을 판별 가능하죠
이제 본론으로 론스키안 행렬식을 사용해 특수해를 구해 봅시다.
일단 행렬을 고등학교 때 배운때 크라미 공식이라고 알고 계실꺼라고 생각합니다. 모르면 찾아보세요 설명하기 귀찮습니다
하지만 크라미 공식을 간단히 설명하자면
(1 2)(x) = (5)
(3 4)(y) (6) 이런 행렬식에서 x ,y값을 특정시킬수 있는 간단한 방법이 크라미 공식입니다
무슨 소리냐 x,y 앞의 행렬의 det 값과 우항의 5,6을 x가 들어갈 자리에 놓고 분자로 놓으면 계산이 완료 된다는 것입니다.
이런 것이 크라미 공식입니다.
이제 특수해를 구하는 방법에 대해 설명드리죠 특수해는 아래와 같은 형식으로 정리가 됩니다.
여기서 각각의 f 는 제차 미방의 일반해의 형태를 나눈 것입니다. 그리고 W는 그 해의 론스키안 행렬식 W1은 크라미 공식에 의한 변환 등등 입니다.
예를 들면 바로 이해 하실것입니다.
따라서 특수해는
가 나옵니다 이런식으로 구하는 방식이 론스키안 해법입니다.
위에서 말 했듯이 론스키안 해법은 모든 미방의 비제차해 즉 특수해를 구하는데 아주 유용한 해법임에는 틀립없으나 과정이 좀 길다는 단점이 있습니다.
다음장에서는 이런 론스키안 을 피하는 편법??? 을 알려드리겠습니다. 암기하시면 매우 편하게 구할수 있는 방법이죠
2계선형미분방정식을 들어가기에 앞서 중첩의 원리와 선형성에 대해서 언급한 적이 있었습니다. 그 중 선형성을 보다 더 쉽게 판단하는 방법이 있는데, 바로 Wronskian 해법입니다.
#0. Linearly independent, dependent(선형독립, 선형종속)
이전의 2계미분방정식에서 homogeneous 한 방정식에 대해서 중첩의 원리를 적용하였고, 그것이 가능한 이유는 선형성(Linearly)으로 부터 출발하였습니다. linearly independent에 대한 정의를 다시 보자면, 이계미분방정식의 해인 y1, y2가 아래의 식을 만족할때
이 식을 만족시키는 K의 값이 오직 일때만 성립하는것이 linearly independent라고 했습니다. 즉 y1에 상수배를 해서 y2를 만들수 없다는 것이지요.
하지만 겉으로 보기에 식의 형태가 삼각함수나 초월함수의 형태로 되어있다면, 상수배를 해서 y2를 만들 수 있을지 없을지가 애매모호해집니다. 가령, sinxcosx 와 sin2x 는 서로 삼각함수 공식을 이용하면 상수배의 관계에 있기때문에 linearly dependent(선형종속)가 됩니다. 이런식으로 겉으로 형태로만 봐서는 알기가 어렵기 떄문에 이를 조금 더 쉽게 알아볼 수 있는 방법이 Wronskian(론스키안) 이 되겠습니다.
#1. Wronskian
P(x)와 Q(x) 가 어떤 열린구간 I 에서 연속일때, y1, y2의 Wronskian값이 0이 아닌것과, linealy d independent 한 것은 충분 관계에 있습니다. 론스키안은 아래의 수식처럼 계산됩니다.
위처럼 조건이 만족될 때에 y1, y2 는 서로 linearly independent 합니다. 하지만 반대로, Wronskian 값이 0 이라면 linearly dependent 하지는 않습니다. 위의 명제의 역인 "linearly dependent 하다면 Wronskian 값이 0 이다" 는 성립합니다. 론스키안은 행렬식으로도 나타낼 수 있습니다.
#2. 그래서?
앞서서, homogeneous 한 2계미분방정식의 풀이에 대해서는 여러가지를 다루어보았습니다. 이제 Non-homogeneous 한 미분방정식의 해를 구해야할텐데, 이도 마찬가지로, 방법이 여러가지가 있습니다. 미정계수법이 가장 흔하게 쓰이며, 그 중 론스키안을 이용하여 풀이를 하는 경우도 있습니다. 이제 다음 글에서부터는 Non-homogeneous(비제차)한 형태의 미분방정식의 풀이에 대해서 알아보도록 하겠습니다.
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