접선의 기울기의 최댓값 최솟값 구하는 방법

삼차함수의 여러가지 성질 중에서 직선과의 교점에서의 접선의 기울기에 관한 내용입니다. 함수식을 구하지 않고도 그래프상에서 교점의 x좌표만으로 빠르게 교점에서의 접선의 기울기를 구할수 있게 됩니다. 이와 관련된 모의고사 및 수능 기출문제에 적용시키면 풀이과정을 빠르게 다듬을수 있습니다.

<삼차함수의 성질 - 교점에서의 접선의 기울기 관련 모의고사 기출>

2007년10월 고3 학평 수학 가형 9번

2013년 10월 고3 학평 수학 A형 26번

2018년 5월 고3 학평 수학 나형 13번

2016학년도 수능 수학 B형 21번

2018학년도 수능 수학 나형 18번

 [일반인을 위한]  K-MOOC

 인공지능을 위한 기초수학 입문

      (Introductory Mathematics for Artificial Intelligence)

                          이상구  with  이재화, 함윤미, 박경은

III.  인공지능과 최적해 (미분)

*미적분학의 개념  http://matrix.skku.ac.kr/Calculus-Story/index.htm  

해(root, solution) 구하기와 최적화(optimization)는 둘 다 함수 위의 한 점을 추측하거나 찾는다는 점에서 관련성이 있다.

해 구하기는 함수 혹은 함수들의 근들을 구하는 반면 최적화는 최솟값 혹은 최댓값을 찾는 것이다.

최적해를 구하는 문제는 도함수의 일반화된 개념과 연산들을 포함한다.

 Week 8.  극대, 극소, 최대, 최소

  8.1. 도함수의 응용

함수

함수

 ⓵ 구간

 ⓶ 구간

예를 들어,

마찬가지로

예제 1. 함수

따라서 함수는

즉, 증가하는 구간 : (-infinity, 1) & (3, +infinity),   감소하는 구간 : (1, 3)   ■

  8.2. 2계 도함수의 응용

함수

반대로 접선의 위쪽에 있으면 아래로 볼록 또는 위로 오목하다고 한다.

 또, 곡선

 함수

 ⓵

 ⓶

따라서 다음 그림과 같이 아래로 볼록임을 알 수 있다. 마찬가지로

예제 2. 함수

따라서

  8.3. 극대, 극소, 최대, 최소

이 점을 구하기 위해서는 먼저 극대, 극소에 관하여 알아야 한다.

함수

를 갖는다고 한다.

반대로 함수

를 갖는다고 한다.

또,

아래 그림에는 다양한 극댓값과 극솟값이 표시되어 있다.

이로부터 극값이 생길 수 있는 후보들은

함수의 임계점 (critical point)이라고 한다. 다음의 정리가 성립한다.

[Fermat의 임계점 정리]

함수

예제 3. 함수

풀이. 일단

도함수를 이용하면 극댓값과 극솟값을 쉽게 판정할 수 있다.

함수

 ⓵

 ⓶

마찬가지로

폐구간에서 연속인 함수

[단계 1]  구간

[단계 2] 이 각각의 임계점들과 양 끝점에서

예제 4. 함수

따라서 극댓값은

[열린문제] 다른 교재에서 찾은 주어진 구간에서 두 번 미분가능한 함수의 극댓값, 극솟값 및 그 구간에서의 최댓값, 최솟값을 찾아보시오.

*[Fermat의 임계점 정리]에 의해 최적해(optimal solution)

따라서 방정식

이런 경우에는 수치적인 방법으로 임계점을 구한다. 대표적인 수치 최적화 방법인 경사하강법(gradient descent method)에 대하여는 다음 절에서 소개한다.

<참고사이트> 

[함수의 극값 동영상 강의] http://youtu.be/mXVU8OqIHJY

[미적분학 실습실] http://matrix.skku.ac.kr/Cal-Book1/Ch4/

http://matrix.skku.ac.kr/Cal-Book/part1/CS-Sec-4-1-Sol.html

[미분의 응용 동영상 강의] https://youtu.be/O4lN5zEZnMA

Copyright @ 2020 SKKU Matrix Lab. All rights reserved.
Made by Manager: Prof. Sang-Gu Lee and Dr. Jae Hwa Lee