"일, 십, 백, 천, 만, 억, 조…! 아빠 다음은 어떻게 세요?" 초등학생 아들이 숫자의 단위를 묻는다. "경, 해라고 세지?" "그럼 그다음 뭐예요?" 아들의 연이은 질문에 "으음…?" 이내 말문이 막힌다. 경제 규모가 커지면서 '조' 단위 숫자까지는 간혹 보았지만 일상생활에서 '경'과 '해' 숫자를 접해 볼 일이 없는 나로서는 그다음의 숫자 단위를 알리가 만무하다. 큰 숫자를 전문적으로 다루는 은행원도 '해' 이후의 숫자를 쉽게 접하지 않을 것 같다. '해' 이후에는 어떤 숫자가 있을까? 인간은 얼마까지 큰 수를 셀 수 있을까? 조(兆)는 10의 12승이다. 1 뒤에 0이 12개 붙은 꼴이다. 경(京)은 10의 16승, 해(垓)는 10의 20승이다. 지구상에서 가장 큰 수는 존재하지 않아 우리가 사용하고 있는 수의 이름은 고대 중국 수학서적인 수술기유(2세기), 산학계몽(13세기)에서 유래하였다. 하지만, 극부터 무량수까지는 불교의 영향을 받아 불경인 화엄경에서 그 용어를 빌려와 수의 이름을 정했다고 한다. 놀라운 것은 무량수보다 더 큰 수가 화엄경에 기록되어 있다는 것이다. 바로 불가설불가설전(不可說不可說轉)이다. 10의 37,218,383,881,977,644,441,306,597,687,849,648,128승이다. 무려 1 뒤에 37간(澗)개 이상의 0이 붙은 숫자이다. 일반인들에게 메모리 용량 단위로 잘 알려진 기가(giga)가 10의 9승이니 그 크기를 가히 상상조차 할 수 없다. 불가설불가설전은 무량수가 도저히 따라갈 수 없어 울고 갈 불가사의한 수이다. 그럼 불가설불가설전보다 더 큰 수는 없을까? 옥스퍼드 등 서양의 모든 영어사전에 수록된 큰 수로 구골(Googole)과 구골플렉스(Googolplex)를 들 수 있다. 세계적으로 유명한 인터넷 검색엔진인 구글(Google)의 어원이기도 한 구골은 10의 100승이다. 그리고 구골플렉스는 1 뒤에 구골 개의 0이 붙은 값이다. 사람이 읽을 수조차 없는 1포인트 크기의 글자를 한 줄로 구골플렉스만큼 인쇄하면, 그 길이가 관측 가능한 우주의 직경 약 8.80×1026미터(930억 광년)를 초과하고도 남는 숫자이다. 구골플렉스를 상상하는 것은 놀라움을 넘어 섬뜩함을 느낄 정도이다. 물론 구골플렉스보다 더 큰 그레이엄수(Graham's number), 큐머드 R 등 무시무시한 크기의 숫자가 있기도 하다. 큰 수에 집착보다는 과정에 더 충실해야무언가를 센다는 것은 끝이 있다는 뜻인데 잘 아는 바와 같이 수는 무한하다. 어쩌면 숫자를 센다는 것이 부질없는 일일 수도 있다. 무량수, 불가설불가설전, 구골플렉스, 그레이엄수처럼 큰 수는 더 큰 수를 낳을 뿐 세상에서 가장 큰 수는 존재하지 않는다. 오늘날 우리는 큰 수를 좇는 팽창주의 사회에서 살고 있다. 더 많은 수의 재력, 정보, 권력을 얻고자 노력한다. 이처럼 큰 숫자에 집착하는 팽창주의는 세상살이 만족감을 느낄 겨를도 없이, 더 큰 수의 목표만을 강요할 수 있다. 그야말로 숫자만 세다가 행복은 온데간데없을 수 있다. 연말연시가 되면 수에 대한 집착이 더 강해진다. 하지만, 크든 적든 숫자는 숫자일 뿐이다. 수보다 더 중요한 것은 그것을 만들어 나가는 과정이다. 과정에 충실하다 보면 숫자는 따라오기 마련이다. 마치 수가 전부인 듯 매달리다가 본래의 목표와 목적을 잊어버려선 안 된다.
다가오는 2011년에는 숫자는 과감히 지워버리고 과정과 내용에 충실한 삶을 살아보자! 필자도 아들 녀석에게 접하기도 어려운 큰 숫자를 세는 방법보다 목표를 이뤄가는 과정의 기쁨에 대해 이야기해야겠다. /채재우(재료연구소 책임연구원) 저작권자 © 경남도민일보 무단전재 및 재배포 금지  5월 5일은 어린이날이다. 그러나 다른 나라에선 날짜가 다르다. 1925년 스위스 제네바에서 열린 국제아동복지회의에서 제정한 어린이날은 6월 1일. 공산주의 국가는 대부분 이날을 어린이날로 정했다. 중국도 6월 1일이 어린이날이다. 북한의 어린이날은 6월 1일이지만, 실제로는 ‘소년단’ 창립기념일인 6월 6일에 주로 행사를 한다. 이슬람 국가는 대부분 이슬람력으로 5월 5일인 7월 4일이 어린이날이다. 유엔이 정한 세계 어린이날은 11월 20일이다. 일본은 3월 3일은 여자 어린이의 날, 5월 5일은 남자 어린이의 날. 그러나 공휴일은 5월 5일뿐이다. 권기균의 과학과 문화 어린이는 어른의 스승 소파 방정환 선생은 1921년 5월 1일 천도교 ‘소년회’를 창립하고, 이듬해 창립기념식에서 ‘어른에게 드리는 글’과 ‘어린 동무에게 주는 글’을 발표했다. 그리고 23년 5월 1일을 어린이날로 정했다. 이후 일제의 압력 때문에 5월 첫 일요일을 어린이날로 했다가 중단됐다. 광복 후 46년 5월 첫째 일요일을 다시 어린이날로 정했는데 그날이 5월 5일이다. 어린이라는 말을 처음 만든 사람도 선생이다. 선생은 ‘아이’ ‘아해’로 부르던 것을 ‘젊은이’ ‘늙은이’처럼 ‘어린이’로 부르자고 했다. 그리고 1920년 창간된 ‘개벽’ 3호에 동시 ‘어린이 노래:불 켜는 이’를 번역해 싣고, 23년에는 잡지 ‘어린이’를 창간했다. 방정환 선생은 ‘어린이 예찬’에서 어린이의 특징을 이렇게 썼다. “…어린이들은 아무리 엄격한 현실이라도 그것을 이야기로 본다. 그래서 평범한 일도 어린이의 세상에서는 예술화하여 찬란한 미와 흥미를 더해 머릿속에 전개된다…. 어린이는 모두 시인이다. 본 것, 느낀 것을 그대로 노래하는 시인이다….” 어린이는 발상이 자유롭다. 그래서 엉뚱하기도 하지만 유머가 샘솟는다. 유치원에서 선생님이 물었다. “잃어버리기 쉬운 물건은?” 그랬더니 한 아이가 손을 번쩍 들고 대답했다. “만 원짜리요! 세뱃돈 받으면 만 원짜리만 없어져요.” 엄마가 만 원짜리만 빼 놓는 걸 알 리가 없었던 거다. 자동차를 좋아하는 아이가 주차장을 지나면서 엄마에게 물었다. “저게 뭐야?” “응, 주차장이야” 다음 날부터 아이는 주차장을 사 달라고 졸랐다. 한자를 배우기 시작했을 때다. TV에서 미스 코리아 선발대회 프로를 보더니 물었다. “미스 코리아 있잖아요. ‘미’가 ‘아름다울 미’인 건 알겠는데, ‘스 코리아’가 무슨 뜻인지 모르겠어요.” 어린이들은 느낌을 그대로 표현한다. 10의 100제곱을 이르는 ‘구골’은 어린이가 만든 단어다. 1938년 미국의 수학자 에드워드 캐스너가 10100을 뭐라고 부를까 생각하다 9살 난 조카딸 밀턴 시로타에게 묻자 밀턴은 ‘구골’이라고 했다. 1940년 캐스너는 제임스 뉴먼과 함께 쓴 수학과 상상이라는 책에서 ‘구골’을 소개했다. 10100인 구골은 우주의 모든 원자의 수보다 많은 상당히 큰 수다. 모래 한 주먹이 모래알 1만 개 정도다. 해운대 바닷가의 모래알을 다 합쳐도 1020이 안 된다. ‘불가사의(不可思議)’라는 수가 1064이다. 그러나 캐스너는 ‘매우 큰 수’와 무한대의 차이를 보여주기 위해 구골을 생각해냈다. 이에 대해 코스모스의 저자인 천문학자 칼 세이건도 “무한대와 구골의 차이는 무한대와 1의 차이와 같다”고 했다. 캐스너는 또 10의 구골제곱(10googol)인 구골플렉스(googolplex)를 생각해 냈다. 칼 세이건은 “구골플렉스를 숫자로 적으려면 우주보다 더 큰 공간이 필요하다”고 했다. 인터넷 검색엔진 1위 업체 구글(Google)은 처음에는 회사 이름을 ‘구골’로 하려고 했었다. ‘엄청난 규모의 검색엔진을 만들겠다’는 목표와 맞아서였다. 그러나 인터넷 도메인을 등록하려다가 입력하는 친구가 구골을 구글(google)로 잘못 입력했다. 그런데 그게 더 마음에 들었다. 그래서 google.com이 되었다. 마운틴 뷰에 있는 구글 본사도 구골플렉스를 변형시켜 구글플렉스라고 부른다. 구글의 인덱스에는 2008년 기준 1조 개의 웹페이지가 저장돼 있다. 구글은 형식을 따지지 않는 자유롭고 재미있는 기업 문화로 유명하다. 기업의 철학은 ‘나쁜 일 하지 않고 돈 벌기’와 ‘일은 도전이어야 하고 도전은 재미가 있어야 한다’이다. 말이 나온 김에 하자면 구골플렉스보다 더 큰 수도 있다. 구골플렉시안(googolplexian). 10의 구골플렉스제곱(10googolplex)이다. 1 다음에 0이 1조 개 붙는다. 그레이엄 수는 1 다음에 0이 100조 개다. 이렇게 가다 보면 끝이 없다. 세상에서 가장 큰 수는 존재하지 않는다. 철학적 개념으로 있을 뿐이다. 그것이 무한대다. 마찬가지로 1을 구골플렉스로 나누면 구골플렉스마이넥스(googolplexminex)가 된다. 이것은 10-googolplex다. 가장 작은 것은 무한소다. 이것 역시 철학적 개념일 뿐이다. 결국 가장 큰 수도 가장 작은 수도 모두 마음속에 있을 뿐이다. 어린이들의 마음만은 무한대로 키워 줄 수 있는 이유다. 십진수
{{{#!wiki style="margin:0 -10px -5px" 인간은 10억 = 109대 정도의 수까지는 일상에서 접할 수 있어서[3] 그 크기가 대략은 가늠이 가지만 1조 = 1012 정도의 수만 되어도 감각적으로 경험하기 어려워[4] 사실상 동그라미 갯수가 많아진 것 뿐이지 현실적인 감이 없다. 그래서 우주의 크기나 원자의 개수, 우주의 나이나 게임에서 확률적 경우의 수[5] 등이 얼마나 큰 수인지 직관적으로 판단하기 어렵다. 의외로 우주나 원자같은 우리가 볼 때 거대하거나 작은 것이 아니라도 기하급수적으로 늘어나는 것들은 무한하지 않더라도 우주 그 이상으로 충분히 커진다. 단적인 예로 52장 트럼프 카드만 해도 이를 섞는 방법이 52! 가지 = 약 8 × 1067[6] 조합이 조금 넘게 되어 골고루 섞은 트럼프 덱의 조합은 인류가 트럼프 카드를 사용한 이래 한 번도 나온 적이 없는 유일한 조합이다.[7] 당연히 푸앙카레 회귀시간동안 배열 가능한 입자의 경우의 수처럼 기하급수적인 것 중에서도 극단적으로 큰 경우는 말이 필요없고, 원자의 배열 가능한 경우의 수만 해도 구골플렉스 수준으로 크다. 아니, 큐브, 체스, 바둑만 해도 가능한 경우의 수는 구골을 넘는다. 경우의 수와 관련된 거대수는 푸앙카레 회귀시간까지가 한계고 수학적 거대수는 홀수 완전수부터 시작해서 그레이엄 수, TREE(3) 등 상상조차 못할 큰 수들도 많이 있다. 10진법을 주로 사용하기 때문에 큰 수 단위도 대체로 10n 형태로 만들어지지만 구골플렉스 정도를 넘어가면 그런 경향은 크게 줄어든다. 어차피 10n 형태여도 n을 자연수로 적는 것조차 버거워지기 때문이다.[8] 설령 인간이 경험할 수 있는 것을 넘어서서 물리학적으로 의미 있는 수치들인 플랑크 단위부터 푸앙카레 회귀시간까지도 자연수로 표시할 수는 없겠지만[9] 충분히 지수로 표시할 수 있는 수준이고 그나마 지수로 표시할 수 없을 정도로 큰 그레이엄 수와 TREE(3) 정도는 이미 수학적으로 의미 있는 수 중에서 가장 큰 정도이다. 그 이상부터는 실용성은 떨어진다. 참고로 푸앙카레 회귀시간동안 플랑크 길이 하나의 차이도 없이 우주에 배열될 수 있는 움직이는 입자의 경우의 수까지만 해도 충분히 지수로 표시할 수 있다.[10] 다중우주의 개수와 푸앙카레 회귀시간의 길이에 따라 입자의 배열 가능 수는 기하급수적으로 증가하긴 하지만 다중우주가 G(63)개여도 그 배열 가능한 경우의 수는 그레이엄 수보다 적다. 작은 수와 비교하자면 작은 수는 값이 0에 가까워지거나 음수의 영역에서 절댓값이 커지는 것인 반면 큰 수는 값이 무한대에 가까워지는 게 아니라 절댓값이 커지는 것이다. 유한한 이상 무한대에 절대 가까워질 수 없고, 그에 따라 가장 큰, 두번째로 큰, 유한 번째로 큰 유한한 수는 있을 수 없다. 그리고 작은 수는 확률이 아니라면 플랑크 단위가 유한하면서도 실용성이 있고 반면 실용성이 없는 것은 생각도 안 하는 데에 비해 큰 수는 실용성이고 뭐고 그레이엄 수 이상부터는 말 그대로 숫자 놀이에 불과해진다. 후한의 학자 서악이 쓴 수술기유(數術記遺)에는 큰 수의 끝이 재이며 이는 중국에서 나온 수의 개념 중 제일 크다. 하지만 큰 수를 세는 법을 3개로 나누었는데 하나는 10만을 억, 10억을 조로 세는 방식이고, 또 하나는 1만만을 억, 1만만억(즉 1억억)을 조, 1만만조(즉 1억조)를 경으로 하여 108마다 단위가 바뀌는 방식이며, 마지막은 1만만을 억, 1억억을 조 등으로 하여 단위가 바뀔 때마다 전 단위의 제곱이 되는 방식이다. 이렇게 하면 가장 큰 수인 재는 104096([math(10^{2^{12}})])까지 커진다. 이는 '다바라'와 '계분' 사이의 수가 된다. 이후 불교에서 큰 수의 개념이 들어왔고 아래 한자로 된 큰 수의 대부분은 화엄경에서 가져온 것들이다. 화엄경에서 부처의 깨달음을 설하기 위해 무턱대고 큰 수들을 열거했는데 그것이 한자의 큰 수들의 이름이 되었다. 동아시아에서는 일반적으로 극을 가장 큰 수로 보았다. 그 이후는 이름에서 느낄 수 있듯이 불경인 화엄경에서 나오는 수로, 산스크리트어를 한자어로 음차한 이름을 갖고 있는 수들이다. 1부터 절대적 무한까지 종류 수 기호 자신 1명 1 일주일 7일 7 태양계 행성 8개 8 달 12달 12 하루 시간 24시간 24 영어 알파벳 26개 26 대기업 69개 69 국가 193개 193 1년 365일 365 포켓몬 1010마리 1010 911테러 희생자 2,996명 2,996 지오그래픽 에피소드 8,000개 8,000 게임 30,000개 30,000 항공기 50,000개 50,000 영어단어 172,000개 172,000 영화 500,000개 500,000 뉴욕시민 8,390,000명 8,390,000 위키피디아 문서 19,000,000개 19,000,000 심장박동수 42,000,000회 42,000,000 책&스크립 170,000,000개 170,000,000 빅맥이 팔린 수 550,000,000개 550,000,000 자동차와 다른 탈것들 1,200,000,000대 1,200,000,000 세계 인구 8,000,000,000명 80억 누적 트위터 게시물 2,000억개 2,000억 우리 은하의 별 갯수 4,000억개 4,000억 지구의 나무 수 3조 그루 3조 사람 한 명의 적혈구 수 70조~140조개(평균 100조) 100조 지구의 개미 수 1016마리 1016 80억 인구의 1년동안의 심장 박동 수 2 × 1017~3 × 1017회(평균 2.6 × 1017) 2.6 × 1017 보통 크기의 해변의 모래알 갯수 5 × 1018~1 × 1019개(평균 7.5 × 1018) 7.5 × 1018 지구 전체의 모래알 갯수 1021개 1021 사람 한 명의 원자 갯수 5 × 1027~1 × 1028(평균 7 × 1027개)[12] 7 × 1027 지구 전체의 원자 갯수 1.3 × 1050개[13] 1.3 × 1050 트럼프 카드의 조합 가능한 경우의 수[14] 8.1 × 1067가지 8.1 × 1067 QR코드의 조합 가능한 경우의 수 101002가지 101002 HD 이미지로 표현 가능한 경우의 수 1015,000,000가지 1015,000,000 10분동안 HD 비디오로 표현 가능한 경우의 수 [math(10^{10^{12}})]가지 [math(10^{10^{12}})] 1세제곱미터에 배열 가능한 양자의 경우의 수[15] [math(10^{10^{70}})] [math(10^{10^{70}})] 푸앙카레 회귀시간[16] [math(10^{10^{10^{123}}})] [math(10^{10^{10^{123}}})] 트리트리[17] 3↑↑↑3 3↑↑↑3 모우저 2[2[5]] 2[2[5]] 그레이엄 수 G(64) G(64) 콘웨이의 테트라트리 3→3→3→3 3→3→3→3 TREE(3) TREE(3) TREE(3) BIGG 200? 200? 거대수 정원수 [math(f^{10}(10\uparrow^{10}10))] [math(f(f(f(f(f(f(f(f(f(f(10\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow10)))))))))))] 소수의 개수[18] ∞ ∞ Rank-into-rank 기수 1호 I0 I0 Rank-into-rank 기수 한계 II100 II100 절대적 무한 Ω Ω 참고로 마지막 수는 절대적 무한으로 말 그대로 모든 무한 중에서도 가장 큰 무한을 뜻한다. 여기서 주의해야 하는 사실은 가장 크다고만 했을 뿐이지 이 값에 도달하는 케이스는 수없이 많다. 수학적 논리로 불가능한 것이 일어나기까지의 시도 횟수가 대표적.[20] 하지만 크기의 제한이 절대적으로 존재하지 않는 무한이라서 그 값을 키우는 게 절대적으로 불가능하다. 즉 절대적 무한에 도달하면 도달했지 그 값을 초과할 수는 없다는 뜻이다. 서로 빼거나 나누거나 0으로 곱하는 식으로 싸움을 붙이면 그 값은 부정형만큼이나, 아니 그 이상으로 정의할 수 없어진다. 애초에 절대적 무한이라는 게 다른 무한대를 아무리 더하거나 곱하는 식으로 키워도 논리적으로 크기가 허용되는 이상 절대로 도달할 수 없는 경지라서 절대적 무한끼리의 크기 비교는 비논리에 속한다. 사실 컴퓨터로 이를 체감할 수는 있는데, 가령 그 어떤 값이든 확정적으로 0으로 만들어버리는 변수를 생각해보자. 자신이 무한대 혹은 NaN의 값을 가지더라도 해당 변수가 발동하는 순간 0이 된다. 이 변수는 절대적 무한으로 나누기에 해당한다. 컴퓨터에서는 무한대를 0으로 곱하는 행위에 대해서 NaN을 던지지만 확정적으로 0으로 만들어버리는 변수에 대해서 확정적으로 0을 내민다. 표기
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104
만
[ruby(一万, ruby=yíwàn)] 수 접두어 기호 배수 십진수 환산 1030 퀘타 (quetta) Q 백양 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 1027 론나 (ronna) R 천자 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 1024 요타 (yotta) Y 자 1 000 000 000 000 000 000 000 000 1021 제타 (zetta) Z 십해 1 000 000 000 000 000 000 000 1018 엑사 (exa) E 백경 1 000 000 000 000 000 000 1015 페타 (peta) P 천조 1 000 000 000 000 000 1012 테라 (tera) T 조 1 000 000 000 000 109 기가 (giga) G 십억 1 000 000 000 106 메가 (mega) M 백만 1 000 000 103 킬로 (kilo) k 천 1 000 102 헥토 (hecto) h 백 100 101 데카 (deca) da 십 10 2000년대 후반에는 네이버 지식iN으로 큰 수의 단위를 탐구하는 것이 유행하였다. 당시는 G(64)의 개념을 이해하지 못하는 사람들이 많았고 2010년대부턴 이를 이용해 출처도 정의도 다 없음에도 일단은 그레이엄 수보다 크다는 정체불명의 수들이 멋대로 퍼졌다. 악순환의 시초 이런 가짜 단위들이 퍼지면 누군가가 거기에 지어낸 수들을 마구마구 덧붙여서 새로 퍼뜨리는 식(...) 물론 동심파괴 좀 하자면, 그레이엄플렉스, 시안의 경우 각각 G(G(64)), G(G(G(64)))로 정의할 수 있지만, 하이퍼기굼바버스 같이 듣기만 해도 오글거리는 수 따위 실제로 존재하지 않으므로, 낚일 일은 없겠지만 알아두자.[137] 2010년대 후반 이후부터는 이런 무의미한 질문이 많이 사라진 듯하다. 물론 인터넷 떡밥이라 재미는 있을 수도. 서양인들은 아예 큰 수를 만들어내는 구골로지(googology)라는 유사학문을 만들어내어, 의미 없는 큰 수의 단위들을 만들어내는 놀이를 즐기기도 하였다. 위에 나온 큰 수들 중 상당수는 그렇게 장난으로 만들어진 수들이다. 말 그대로 대수학(大數學). 이런 곳에 언급된 폭발적인 수들은 크기 자체는 그레이엄 수, TREE(3), SCG(13) 보다도 훨씬 크며, fgh로도 측정이 불가능한 것도 있다. 그런데 이런 논의가 완전히 무의미하지는 않은 것이, 실제로 거대수가 수리논리학의 한 분야인 증명론(proof theory)에서 의미 있게 쓰이는 경우가 있기 때문이다. 예를 들어 Goodstein sequence나 Tree function은 페아노 공리계(PA)나 유사한 공리계에서 구성 가능한 모든 일반 재귀함수(general recursive function)보다 빠르게 증가하므로 이들 공리계에서 이 함수들에 관한 여러 정리가 증명불가능하다는 식의 결과를 낼 수 있다고 한다. 바쁜 비버 문서도 참조. 그런데 주의 할 점은 이런 큰 수들은 대부분 출처가 googology 사이트인데 거기서도 omega fixed point 이상의 숫자들은 잘못 표기되거나 정의된 경우가 많다는 것이다. 왜냐 하면 그 이상은 rathjen의 함수를 주로 사용하는데 이해하기 어려워서 대부분의 유저들이 그저 본인들의 편의에 맞춰 적당하게 큰 수를 표시하는 경우가 대부분이다.사실 Taranovsky's C 함수를 사용한 tar 함수들도 엄청나게 큰 숫자라고 예측되고는 있지만 완전히 잘 정의된 숫자들은 아니다. 다만 현재 가장 큰 계산가능 수는 최소 초월 정수나, 거대수 저택수이며 이는 잘 정의된 숫자들이다. 1부터 그레이엄 수까지 정리한 이 링크의 내용도 참고해 보도록 하자. 단, 스큐스 수가 상한이 떨어졌음에도 이 링크에서는 이 점이 반영되지 않았다는 점을 알고 가자. 구골플렉스 이후의 저 이상한 수들이 뭔지 궁금하면 Googology Wiki의 큰 수 목록으로 가보라. 큰 수란 큰 수는 모두 모아놨고 또 자세히 설명하고 있다. 위 표의 수들은 극히 일부만 가져온 것인데, 실제로는 20페이지 구성이며 분량도 엄청 많다. 인피니티 스크래퍼즈라고 Meameamealokkapoowa oompa까지의 큰 수 목록을 정의했던 글이 있다. 이 글이 작성된 시기는 2000년대 후반이었고 당시는 끽해야 그레이엄 수보다 큰 수 따위는 상상하지도 않던 때였다. 게다가 이제는 그보다도 더 큰 수들을 정의하면서 페이지를 추가로 갱신하여, 마침내 Oblivion 시스템으로 BIG FOOT까지 최종 등록한 듯하다. 그런데 어차피 Oblivion 시스템에서 작성자가 만든 Oblivion이나 utter Oblivion은 물론이고 BiG FOOT도 잘못 정의된 수라는 것이 밝혀졌기 때문에 의미 없다. 사실 BEAF 중간부터가 전부 잘못 정의되어 있기도 하지만. [1] 영상에서의 [math(f_{\phi}(1))]와 같은 표기는 배블런 함수를 사용한 것으로 보이나, 밑첨자가 없는 등 표기의 오류가 많다. 이 영상에서 나온 TREE(3)의 추정 역시 잘못 정의되었다. TREE(3)의 실제 추정 값은 [math(f_{\theta(\Omega^\omega\omega)}(3))]이상인데, 이것과 매우 차이난다. 영상에선 fgh라고 했지만 f를 기호로 쓰는 다른 함수와 착각한 것으로 보인다.[2] '크다'는 말 자체가 상대적이고 수가 무한히 존재하기 때문에, 정확한 정의는 불가능하다. 그리고 수가 크면 클수록 유의미하게 차이난다의 기준도 달라지는데, 예를 들어 산술적으로는 같은 10 차이여도 1과 11은 유의미한 차이로 취급되지만 100000과 100010은 정밀성이 요구되는 경우를 제외하면 그다지 유의미한 차이로 취급되지 않는다. 수가 더 커져서 자릿수도 10000자리쯤 넘어가면 2배씩 늘어나는 건 의미없다. 구골플렉스처럼 자릿수를 자연수로 쓰기조차 버거워지면 보통은 지수 탑을 쌓기 시작하며 이 때부터는 지수 탑을 쌓는 것조차도 크게 의미를 가지기 힘들다. 관련해선 Fast-growing hierarchy 문서나 유효한 가장 큰 수 문서를 참조하면 된다.[3] 한 가지 예시로 10억 초는 약 31년 8개월이다.[4] 그나마 일상에서 접하는 가장 밝은 밝기인 햇빛은 맨눈으로 볼 수 있는 가장 어두운 밝기인 6등성보다 10조(1013)배 정도 밝다. 지수로 표현하기 시작하는 1000조 = 1015부터는 게임을 제외하면 일상에서 접할 수 있을 리가 없다.[5] 일부 스케일이 큰 게임의 경우 확률이 아닌 능력치에 심지어 게임 아이템 드랍률마저도 조 단위를 넘어간다. 아이템 드랍률 10억 분의 1까지는 의외로 잘 보인다. 어떤 게임은 구골플렉스까지 나온다. 애초에 이런 건 연속확률분포가 아닌 이상 단 하나의 변수로 가능한 최소한의 확률은 5×10-324정도에 불과하기 때문에 충분히 작지 않아서 연속적으로 맞아야 하는 조건을 늘리지 않는 이상 저 정도까지 설정하는 것도 불가능하다. 하지만 반대로 연속적으로 맞아야 하는 조건을 많이 늘리면 구골플렉스 정도는 쉽게 넘어간다.[6] 약 8000불가사의[7] 물론 극히 낮은 확률로 나왔던 조합이 나올 수도 있으나 태어나서 죽을 때까지, 심지어 전세계 인류도 모자라 관측 가능한 우주를 지구로 채워서 빠짐없이 트럼프 카드만 섞어도 로또 1등에 당첨될 확률보다도 훨씬 낮다. 물론 전세계 인류가 빠짐없이 로또를 사서 전부 1등에 당첨될 확률보다는 훨씬 높다. 확률을 가진 것이 연속으로 일어날 확률은 기하급수적으로 감소하기 때문이다. 뽑은 경우의 수를 넣고 다시 뽑든 버리고 다시 뽑든 확률이 너무 낮아지면 가까워진다. 그리고 확률이 낮고 시도 횟수가 적을수록 확률이 얼마나 심히 낮든 크게 차이나지 않는다. 즉 확률이 낮아질수록 독립시행과 독립시행이 아닌 것이 서로 가까워지며 동시에 확률이 낮은 것과 더 낮은 것의 차이 역시나 시도 횟수에 비례해서 가까워진다. 그 말은 1억 분의 1이나 1조 분의 1이나 시도 횟수가 적다면 사실상 똑같다.[8] 이는 인간이 아니라 외계인이라도 수가 너무 커지면 마찬가지일 것이다. 어차피 다중우주가 있다고 치고 법칙 또한 자유자재로 바꿀 수 있다고 해도 저걸 다 쓰는 것은 상상조차 못할 일이다.[9] 플랑크 단위는 예외.[10] 모든 입자의 속력은 광속 이하이기 때문이다. 빛의 속도에 한없이 가까워질 때의 질량이라면 모를까 G(64)를 넘을 수 있을 리가 없다.[11] 춘추전국시대 때 중국 각 나라의 인구를 일컫는 말로 억조창생이란 성어가 있다. 현대 중국의 인구가 이제 13억이니 춘추전국시대의 인구가 진짜로 억, 조 단위를 찍었을 리는 없고, 그 시대에는 만 다음이 십만, 백만이 아니라 바로 억, 조였던 것. 당시 중국 전체 인구가 수천만 명 수준이었으니 각 나라의 인구는 실제로 수백만 정도였을 것이다.[12] 체중에 따라 갈린다.[13] 소행성 충돌 등으로 달라질 수 있다.[14] 사실상 경우의 수 체험판이다.[15] 바로 밑의 푸앙카레 회귀시간의 하위호환 격이다.[16] 참고로 푸앙카레 회귀시간동안에 배열 가능한 움직이는 입자의 경우의 수만 해도 지수 탑 4~5칸 정도면 충분하다.[17] 여기서부터 지수로 표시하기도 버거워지며 동시에 현실에서는 경우의 수 관련 큰 수들조차도 얼씬도 못할 크기이기도 하다.[18] 그나마 여러 무한대 가운데에 작은 무한대에 속하는 것이지만 그래도 명색이 무한대라서 유한한 그 어떤 수보다도 크다.[19] 보통은 몇 자리인지조차도 상상이 안가는 만큼 크다. 물론 확률의 경우 1/n일 때 n의 값 한정. 그렇지 않으면 오히려 작은 수에 해당한다.[20] 랜덤한 도형이 그려질 때 넓이를 가진 이각형이 작도되기까지의 시도 횟수, 랜덤한 음수를 골랐을 때 양수가 나오기까지의 시도 횟수 등 수학적으로 허용되지 않는 모든 비논리가 일어나기까지의 시도 횟수가 이에 해당한다.[21] 이는 현대 인도에서도 쓰이며 라크(lakh)라고 한다.[22] 이는 현대 인도에서도 쓰이며 크로어(crore)라고 한다.[23] 중국에서는, 해당 단어를 상당히 간절한 투로 부탁할 때에 사용하기도 한다.[S] 미국, 현대 영국에서 쓰이는 단위인 Short scale[L] 유럽 대륙, 과거 영국에서 쓰는 단위인 Long scale[S][L][S][L] [S][L][S][L] [S][L][S][L] [38] 禾+予가 붙은 형태의 일본식 한자로, 원래는 秭. 자세한 것은 해당 문서 참고.[S][L] [S][L][S][L] [S][L][S][L] [S][L][S][L] [53] 동시에 128비트로 표현 가능한 가짓수이기도 하다.[S][L] [S][L][S][L] [S][L][S][L] [64] 갠지스 강의 모래알 만큼 많다는 뜻. 하지만 지구의 질량을 수소원자의 질량으로 나누어도 계산해보면 약 3.568×1051개로 약 3568극개가 된다[S][L][67] 아승기 역시 사용을 안 하지는 않으나 일반적으로는 빈파라로 사용한다.[S][L][S][L] [S][L][L][75] 중국은 1068은 무량, 1072은 대수로 나뉜다. 한국처럼 둘을 합쳐서 무량대수로 부르는 것은 일본의 영향을 받은 것이기 때문. 그렇기에 일본도 해당 단위는 무량대수이다. 사실 밑에 무량이라는 단위가 하나 더 나오기는 하지만 어차피 둘 다 잘 안 쓰이는데다가 밑에 나오는 무량은 일본 유래 단어이기 때문에 중국에서는 별 신경을 쓰지 않는다.[L][77] 여기서부터 자연수로 표시하기 어렵다.[L][L][80] 천문학자 아서 스탠리 에딩턴이 관측 가능한 우주의 총 양성자 개수로 추측한 수이다. [math(N_\text{Edd})]로 표기한다.[L][L] [L][L][L][86] 여기서부터 나오는 한자식 명칭은 전부 일본에서 유래한 명칭으로, 중국에서도 사용은 하지만 일본으로부터 수입해서 사용하는 것이다.[L][L][89] 참고로 10의 300제곱은 2의 1000제곱보다 약간(?) 작고 2의 1000제곱은 센틸리언보다 약간(?) 작다. 64비트 부동소수점의 한계보다는 이들이 꽤 많이 작다.[S][91] n비트의 값을 많이 올려도 커누스 윗화살표 표기법부터는 더 이상 재귀하는 등의 일반적인 방법으로는 쉽게 따라잡을 수 없다. n비트 정수형으로 표현할 수 있는 수는 2n보다 작고 n비트 부동소수점으로 표현할 수 있는 수는 [math(2^{2^{n-1}})]보다 작기 때문이다.[S] [L][94] 동시에 Microsoft Windows 계산기로 표현할 수 있는 한계이기도 하다.[95] The Game Theorists가 슈퍼 마리오 메이커에서 만들 수 있는 모든 레벨의 가짓수를 구하면서 나온 단어로, 슈퍼 마리오 메이커에서 만들 수 있는 레벨 수이다.[96] 1000조를 넘으면 e+로 표시하는 시스템에서도 오버플로가 뜨지 않는다는 가정 하에 e+n의 값조차도 e+로 표시하기 시작한다.[97] 푸앙카레 회귀시간 등을 제외하면 수학적인 의미 외에 다른 의미가 있는 마지막 수이다.[98] 마인크래프트 월드 전체에 베드락에서부터 y좌표 256까지 쌓을 수 있는 블록의 가능한 조합의 수이다.[99] 모든 우주가 처음 상태로 되돌아가기까지 걸리는 시간을 의미한다.[100] 여기서부터 커누스 윗화살표 표기법 이상을 쓰기에 크기가 상상을 초월한다.[101] 수가 클수록 유의미하게 차이난다는 것을 고려하면 이제 절반은 넘게 왔다.[102] 여기서부터 커누스 윗화살표 표기법만으로 표시하기 어렵다.[103] 실제로 햄버거 이름 빅맥에서 따왔다고 한다.[104] 약한 하한은 [math(f_{\theta(\Omega_\omega)}(13))] BEAF로는 {13,13 / 2}정도로 추정된다. SCG(n) > SSCG(n)이고, SCG(n) ≤ SSCG(4n+3)이다.[105] BEAF로 정의된 가장 큰 수.[106] [math(f_{C(C(C(\Omega_{3}2,0),0),0)}(3))]과 같다. BEAF와 SAN, BAN의 한계치는 이보다 매우 작다.[107] Taranovsky's C를 사용하여 만들어진 가장 큰 수다. Taranovsky's C가 얼마나 빠르게 성장하는 함수인지 확실한 증거는 없지만 2차 산술의 증명서수보다 빠를 것으로 예측하고 있다. 예측이 맞다면 여타 다른 수와는 그야말로 비교 자체가 안 되는 거대한 수일 것이다. 다만 ZFC의 증명 서수보다는 느리기 때문에 최소 초월 정수나 거대수 저택수, 거대수 누각수보다는 훨씬 적은 수일 것이다.[108] 계산이 가능한 가장 큰 수.[109] 거대수 정원수를 만든 동일인 P進大好きbot이 정의한 수로, 정의에 문제가 없음을 증명했다. 따라서 최소 초월정수보다 큰 수가 될 것으로 예측된다.[110] 피쉬 수 7을 ZFC에서 잘 정의되게 변형한 수이다. 위의 거대수 저택수와 함께 ZFC 공리계에서 정의될 수 있는 가장 큰 수로 생각된다.[111] 현재 유효한 가장 큰 수[112] 자연수, 정수, 유리수의 무한집합의 원소의 개수(농도)[∞] [math(\infty)](무한대)의 성질을 지닌 수로, 초한수이다.[114] 무리수, 실수, 복소수의 무한집합의 원소의 개수(농도)[∞][∞] [∞][118] 베트를 초월하는 계산 불가능하며 규칙적이고 강한 초한기수이다.[∞] [∞][∞][∞][123] ZFC 공리계에서 안정적인 가장 강력한 초한기수이다. I0외에 I1, I2, I3이 있다.[∞][125] ZFC 공리계에서는 계산 불가능한 함수와 마찬가지로 존재하지 않는다. 일반적으로 무한이 1+무한소=1... 식으로 값이 2가 될 때까지 더했을 때 더한 횟수라면 절대적 무한은 1-1=0... 식으로 2가 될 때까지, 즉 절대 셀 수 없는 것이다. 1-무한대=음의 무한대, 1-절대적 무한=음의 절대적 무한 식으로 해서 양의 절대적 무한에 다다를 때까지의 빼는 횟수로 해도 절대적 무한은 말 그대로 절대적이라서 의미없다. 또한 임의의 0이 아닌 유한 초실수를 무한대로 나누면 무한소가 되는데, 절대적 무한으로 나누면 완전한 0이 되어버린다. 절대적 무한은 수의 관점에서 보지 않는 무한대와 같다. 즉 무한대를 수의 관점으로 보지 않고 극한까지 싸그리 무시하면 모든 무한대를 같은 값으로 취급할 수 있지만 절대적 무한은 아예 이러한 가장 큰 무한대의 특성을 그대로 가져온 것이다. 다시 말해 절대적 무한은 절대적으로 무한한 극대이기 때문에 무리수의 소수점 뒤에 붙은 숫자의 개수처럼 정말 그 어떤 상대적 무한보다도 큰 수이다. 절대적 무한을 절대적 무한으로 빼거나 나누거나 또는 0으로 곱하는 것은 무한대와 마찬가지로 그 값을 정의할 수도 없다.[∞][127] 그래서 실수 집합은 무한호텔에 들어가지 못한다. 자연수 개수인 방 개수보다 원소가 많기 때문.[128] 물론 어디까지나 비교적 작아졌을 뿐이다. 3↑↑↑3보다도 크다.[129] [math(x, y, z)] 모두 80자리 정도 되는 수이다. 딱히 별거 없어보이는데 이게 왜 들어있는가 하면 이유가 있다. 페이스북 등지에 자주 등장하는, 문제 자체는 푸는데 5분이면 되지만 조건문과 서술어를 애매하게 써놔서 사람들의 답을 엄밀한 정답이 아니니 틀렸다! 라는 식으로 후려치고는 “95% 이상의 사람들이 풀지 못했습니다.” 같은 제목을 써놓고 퍼뜨리는 쓰레기 문제들을 풍자하기 위해 만들어진 문제이기 때문이다. 그래서 이 방정식이 인터넷에 올라왔을 때의 원문은 변수가 문자가 아닌 과일 모양으로 되어 있다.[130] 그 이상의 수는 SCG 함수랑 비슷한 [math(f_{\theta(\Omega_\omega)}(n))]이랑 비슷하다.[131] 애초에 fgh에서는 재귀를 얼마나 하던 밑첨자에 +1이다.[132] BIGG는 fgh로 대략 [math(f_{\psi(\psi_{I_\omega}(0))}(200))]에 근사해서, 그리 근접하지는 못할 것으로 예상된다.[133] [math(\text{SSCG}(n) < \text{SCG}(n))]이고 [math(\text{SSCG}(4n+3) \geq \text{SCG}(n))] 이기 때문에 SSCG(55) 정도 돼야 SCG(13)이랑 근사한 값이 나온다. 참고로 TREE(n)의 경우 G(n)보다 성장률이 월등하지만 포컬, 하이퍼 그레이엄이 존재하는 G(n)과 달리 TREE(n)은 그렇지 않은 이유는 애초에 그 단계에서는 거의 제자리걸음일 뿐이다. 그럼에도 SSCG(n)은 TREE(n)보다 큰데도 불구하고 55만 해도 SCG(13)의 다음 단계로 넘어갈 수 있는 수준이니 성장률이 엄청나게 높은 셈.[134] fgh 함수의 성장률을 높이려면 더 큰 서수가 필요한데 매우 큰 가산 서수의 존재성을 증명하려면 강력한 공리계를 필요로 하며, 가산 서수를 이용한 fgh 함수는 결국 계산 가능한 함수라는 한계가 존재한다. 비가산 서수를 이용한 fgh 함수는 일단 계산 불가능하긴 하지만, 그 성장률이 모든 계산 가능한 함수보다 빠른지조차 아직 증명되지 않았다.[135] 더 구체적으로는 바쁜 비버 함수는 정지하는 n-상태 튜링 기계가 쓰는 1의 개수 상한이므로 그 수를 계산하는 튜링 기계를 몇개 상태를 사용하는 튜링 기계로 만들 수 있는지 따져보면 된다.[136] 참고로 빅풋 등의 오류수 3개가 오류가 발견되기 전까지는 세 수가 피쉬 수 7보다도 크지만 빅풋 한정으로 거대수 정원수보다는 작은 수로 취급되었다. 나머지 두 오류수도 아무리 제대로 정의해도 거대수 정원수를 넘을 수는 없을 것이다.[137] 흔히 그런 수들을 다른 함수의 특정 값으로 근사하거나 정의도 근사도 없이 그냥 뭐보다 크고 작다 식으로 서술하기도 하는데 아무리 비슷하게 근사해도 결국 정의되지 않은 심하게 큰 수들은 결국 의미가 없고 수학자들 사이에서는 샐러드 수마냥 아예 무시될 수밖에 없다. |
구골플렉스보다 큰 수 - gugolpeullegseuboda keun su
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