원과 부채꼴, 호, 현, 활꼴, 중심각에서 원과 그 친구들에 대해서 알아봤어요.
이제는 원에 대해서 조금 더 알아보죠. 초등학교 때 원의 넓이와 원의 둘레를 구했는데, 공식 기억하고 있죠?
원의 둘레 공식, 원의 넓이 공식
원의 둘레 = 반지름 × 2 × 3.14
원의 넓이 = 반지름 × 반지름 × 3.14
솔직히 원의 넓이와 원의 둘레를 구하는 게 계산하기 귀찮았잖아요. 조금만 실수해도 틀렸다고 하고.
이제 이런 걱정할 필요가 없어요. 원의 둘레, 원의 넓이를 구하는 방법이 매우 쉬워졌거든요.
원주율
원주율은 원의 지름에 대한 원의 둘레의 길이의 비를 말해요. 이건 초등학교 때 이미 공부했어요. 숫자로 하면 얼마라고 했나요? 3.14죠.
이제 중학교에서는 3.14라는 걸 쓰지 않아요. 왜냐? 계산하기 복잡할 뿐만 아니라 3.14가 정확한 숫자가 아니니까요.
중학교에서는 3.14 대신에 π라는 걸 써요. 파이라고 읽어요. 한글 모음 ㅠ처럼 생겼는데, 아래에 세로로 그어진 부분의 끝을 왼쪽과 오른쪽으로 살짝 나오게 써요. 앞으로 계산할 때 3.14 대신에 π를 쓰세요.
원의 둘레와 원의 넓이
원의 둘레 길이와 원의 넓이 구하는 공식이 아래처럼 바뀌었어요.
반지름의 길이를 r (Radius), 원의 둘레의 길이를 l(Length), 원의 넓이를 S(Square)라고 해보죠.
원의 둘레 길이(원주, l)와 넓이(S)
l = 2 × 반지름 × 3.14 = 2πr
S = 반지름 × 반지름 × 3.14 =
πr2
예를 들어 반지름이 10cm인 원의 둘레는 10cm × 2 × 3.14 = 62.8cm라고 하지 않고, 2 × π × 10cm = 20πcm라고 써요.
넓이는 10cm × 10cm × 3.14 = 314cm2이 아니라 π × (10cm)2 = 100πcm2이라고 하고요.
3.14를 곱하지 않아도 되니까 계산이 훨씬 간결해졌죠?
부채꼴 호의 길이와 부채꼴의 넓이
이번에는 부채꼴의 호의 길이와 부채꼴의 넓이에 대해서 생각해보죠.
부채꼴에서도 원의 반지름은 r(Radius), 부채꼴의 호의 길이를 l(Length), 부채꼴의 넓이를 S(Square), 중심각의 크기를 x°라고 해보죠.
부채꼴에서 호의 길이는 부채꼴의 중심각에 정비례한다고 했어요. 원의 중심각이라는 용어는 없지만 원도 부채꼴처럼 중심에 각이 있죠? 한 바퀴 뺑 돌았으니까 이 각의 크기는 360°잖아요. 원과 부채꼴, 호, 현, 활꼴, 부채꼴의 중심각에서 부채꼴의 호의 길이를 구하는 예제에서 비례식을 이용해서 풀었었죠? 여기서도 비례식으로 풀어보죠.
원의 중심각 : 원의 둘레 = 부채꼴의 중심각 : 부채꼴 호의 길이
360 : 2πr = x : l
360 × l = 2πr × x
l = 2πr × x ÷ 360
부채꼴의 넓이도 중심각에 정비례한다는 사실을 이용해서 비례식으로 풀어보죠.
원의 중심각 : 원의 넓이 = 부채꼴의 중심각 : 부채꼴의 넓이
360 :
πr2 = x : S
360 × S = πr2 × x
S = πr2 × x ÷ 360
부채꼴 호의 길이(l)와
넓이(S)
넓이 구하는 공식이 두 개죠? 아래에 있는 공식은 부채꼴 호의 길이를 이용한 공식이에요.
가끔은 부채꼴의 중심각을 가르쳐주지 않고 부채꼴 호의 길이를 알려주고 넓이를 구하는 경우도 있거든요. 부채꼴 호의 길이를 이용할 수 있도록 넓이 구하는 공식을 조금 변형하면 돼요.
아래 그림을 보고 색칠한 부분의 둘레의 길이와 넓이를
구하여라.
(1)은 도넛 모양이네요. 색칠한 부분 전체의 둘레는 바깥에 있는 큰 원의 둘레와 안에 있는 작은 원의 둘레를 더해줘야겠죠?
바깥 큰 원의 둘레 = 2πr = 2π × 6 = 12π
안쪽 작은
원의 둘레 = 2πr = 2π × 4 = 8π
전체의 둘레 = 12π + 8π = 20π(cm)네요.
넓이는 큰 원의 넓이에서 작은 원의 넓이를 빼줘야겠죠?
큰 원의 넓이 = πr2 = π62 = 36π
작은 원의 넓이 = πr2 = π42 = 16π
36π - 16π = 20π(cm2)군요.
오른쪽 (2)에서는 45°만큼 비어있어요. 따라서 이 부채꼴의 중심각은 (360° - 45°) = 315°예요.
둘레의 길이는 중심각이 315°인 부채꼴 호의 길이에 반지름 6cm를 두 번 더해줘야겠죠?
부채꼴 호의 길이 = 2πr × x ÷ 360 = 2π × 6 × 315 ÷ 360 = 10.5π
색칠한 부분 둘레의 길이는 (10.5π + 12)cm군요.
넓이는 중심각이 315°인 부채꼴의 넓이를 구하면 되겠네요.
부채꼴의 넓이 = πr2 × x ÷ 360 = π62 × 315 ÷ 360 = 31.5π(cm2)입니다.
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원주율: 원의 둘레와 지름의 비율, π (파이)
- 원의 둘레 l = 2πr
- 원의 넓이 S = πr2
- 부채꼴 호의 길이 l = 2πr × x ÷ 360
- 부채꼴의 넓이 S = πr2 × x ÷ 360 = ½rl
원주율, 원주, 지름
원주율
a. 원주를 지름으로 나눈 값(비율)
* 원주=원의 둘레
b. 이 값은 원의 크기에 상관없이 항상 일정
c. 약 3.14159 ․ ․ ․ 인데, 초등학교에선 3.14로 사용
d. 나중에 π(파이)라는 기호로 표시
원주율 값 3.14는 무조건 외워야 하지만,
원주율이 (원주 ÷ 지름)인지, (지름 ÷ 원주)인지는 외우지 말고, 이해하도록 하자.
3.14가 0보다 큰 수이므로, 분자가 분모보다 큰 수이어야 하고,
두 점 A, B 사이의 가장 짧은 거리는 직선거리이므로, 원주가 지름보다 당연히 큰 수이므로,
원주율 = 원주 ÷ 지름
이렇게 이해하면 된다.
이 공식으로부터 원주와 지름은 다음과 같이 구할 수 있다.
원주는 지름의 3.14배