분수 사칙연산 문제 - bunsu sachig-yeonsan munje

저는 초등학교 3학년 분수 시간 때 수학을 놓쳤습니다.

어릴 때부터 스스로 ‘왜?’라는 질문을 참 많이 했습니다. 선생님께 질문을 하는 학생도 아니었고 스스로 ‘왜?’라는 의문을 풀지 못 했습니다. 주변 친구들은 문제를 착착 잘 풀기 때문에 나도 진도를 따라서 문제를 풀어야 한다는 마음이 급해서 따라가기 바빴던 것 같습니다. 그래서 이해하지 못 하고 넘어갔고 그게 쌓이다보니 수학을 잘하지 못 하게 됐습니다. 

초등학교 3학년 수업 때 이런 문제가 나왔는데 앞에 있는 숫자인 3을 위로 올리고 그 다음 나오는 숫자인 4를 밑으로 내려서 저렇게 표시해야 하는구나 이해하고 문제를 풀었습니다. 그리고 분수가 무엇인지 이해를 못 하고 곱셈도 구구단을 외우면서 풀긴 푸는데 정확히 무엇인지는 모르는 채로 시간이 가다 보니 분수의 덧셈과 뺄셈은 왜 이렇게 계산하는지, 분수의 곱셈은 왜 이렇게 계산하는지, 약분이 무엇인지, 왜 곱하기에 0이 하나라도 있으면 왜 정답이 0인지 이해가 가지 않기 시작했습니다. 그래서 제가 수학을 놓치게 된 계기가 된 분수를, 이해하지 못 했던 부분을 정리한다는 것은 저에게 큰 의미가 있습니다. 제가 이해한대로 작성했습니다. 모쪼록 저처럼 일찍부터 수학을 포기하시는 분이 없길 바라는 마음으로 작성합니다. 그리고 제가 1번, 2번 번호를 매겨서 작성한 질문을 스스로 생각해 보시기 바랍니다.

1번. 분수란 무엇인가?

분수는 한자로 ‘分數’입니다. 한자는 ‘나눌 분’과 ‘숫자의 수’라는 뜻으로 ‘나눈 숫자’라는 의미를 같습니다. 그렇다면 무엇을 나눈 것일까요? 바로 수를 나눈 수입니다. 여기서는 직관적으로 쉽게 설명하기 위해 일상 생활에서 많이 사용하는 양수만 다루도록 하겠습니다.

2번. 왜 분수를 이렇게 표시할까?

사과를 셀 때 1개, 2개, 3개와 같이 정수를 사용해서 셉니다. 그런데 만약 사과 1개를 반으로 잘랐다고 합시다. 이럴 땐 숫자로 어떻게 표기해야 할까요? 1개를 반으로 잘랐다는 의미에서 1과 같이 표기할까요? 사람들은 1개를 반으로 잘랐을 때는 1개를 2개로 나눴다는 의미에서

 1/2 (2분의 1)과 같이 숫자를 표기하기로 약속했습니다. 그리고 1을 반으로 나눴다는 의미는 소수 0.5와 같이 다르게도 표현할 수 있습니다.

3. 분수와 사칙연산의 나눗셈은 같은 것일까?

분수는 정수를 나눈 수로 1/2 와 같이 표기하는 수입니다. 사칙연산의 나눗셈은 ÷ 로 표기하며 수와 수를 나눈다는 의미를 갖는 기호입니다. 분수는 사칙연산의 나눗셈을 포함한 수이고 사칙연산의 나눗셈은 수가 아닌 그저 의미를 갖는 기호일 뿐입니다.

위의 식에서 3/4 은 3을 4로 나눈 수를 표현하지만 ÷ 기호는 나누다는 의미를 갖는 기호일 뿐이므로 단독으로는 수의 의미를 갖지 않습니다.

3번. 분수의 덧셈과 뺄셈을 계산할 때 왜 통분해야 하는가?

통분하는 이유는 그렇게 계산하는 게 편리하기 때문입니다. 사실 통분하지 않고도 계산할 수 있습니다.

2/4+1/2  을 통분과 약분을 하지 않고, 수단과 방법을 가리지 않고 한 번 계산해봅시다.

저는 그림을 그려서 계산해봤습니다.

그림을 그려서 계산할 수 있었던 이유는 분수의 값이 작았기 때문입니다. 만약 큰 수를 더한다고 상상해보십시오.

242/464+146/256 을 통분도 약분도 하지 않고 그림으로 그려서 그린다면 수가 크기 때문에 그리면서 틀릴 수도 있고 그림을 그려서 계산하기도 매우 어렵습니다. 그래서 인간이 계산하기 가장 편리한 형태인 통분을 통해서 분수의 덧셈과 뺄셈을 효율적으로 계산하게 된 것입니다.

4번. 분수의 곱셈은 왜 통분하지 않아도 되는가?

분수의 곱셈은 분수의 덧셈과 뺄셈과 조금 다릅니다. 곱하다는 것의 의미는 몇 번 더했냐는 뜻입니다. 3X4는 3을 4번 더했다는 의미입니다. 그럼 분수의 곱셈을 살펴봅시다.

위 식의 의미는 3/4 을 1/3 만큼 곱했고 반대로는 1/3 을 3/4 만큼 곱했다는 의미입니다. 분수의 덧셈과 뺄셈은 통분한 후 분자끼리 계산하지만 곱셈은 분모와 분자 모두 계산합니다. 분수의 곱셈은 분자와 분모를 몇 번 더했느냐의 문제이기 때문에 통분이 필요 없습니다. 곱하려는 수와의 통분이 필요하지 않은 이유는 이렇게 생각하면 이해하기 쉽습니다. 분수의 덧셈은 아주 큰 사과와 아주 작은 사과의 크기가 너무 달라 둘이 합하면 정확히 몇 개인지 세기가 어려워서 쉽게 세기 위해 큰 사과를 작은 사과와 같이 나눠서 모양을 갖추고 서로 더하는 계산을 상상하면 됩니다.

분수의 곱셈은 사과 1개가 몇 배로 커지거나 나눠지는 것을 상상하면 됩니다. 밑의 식을 사과 그림으로 표현했습니다. 분수를 분자가 분모보다 더 큰 가분수와 곱했을 때를 표현했습니다.

사과를 그려서 설명하는 것만으로는 한계가 있어서 원으로 표현했습니다. 밑의 식을 그림으로 표현한 것입니다. 분자가 분모보다 작은 진분수 간의 곱셈을 표현했습니다.

위 식은 분자 1은 1번 더했으니 그대로 1이고 분모 2는 4번 더했으니 8이 됩니다. 이 의미는 ‘몇 개로 나누는가’를 의미하는 숫자인 2가 4번 더해서 8이 되었으므로 더 늘어났기 때문에 1개의 원이 8개로 나눠지게 됐습니다. 따라서 분자 1은 숫자가 변하지 않았으나 나누는 수가 더 큰 수가 됐으므로 8개로 나눠진 것 중 1개를 가리켜서 아주 작은 수가 됩니다.

5번. 여러 개의 분수를 곱할 때 서로 약분할 수 있는데 왜 약분이 되는가?

먼저 작은 수부터 쉽게 계산해보겠습니다.

위의 식을 계산할 때 다음과 같은 순서로 계산할 수 있습니다.

4에다가 2를 곱하고 다시 약분하기 위해 8을 2로 나누는데 이는 하나 마나한 일이여서 하지 않아도 되는 일입니다. 이를 그림으로 보면 좀 더 이해하기 쉬울 겁니다. 하트 1개는 1로 정의하겠습니다.

따라서 2배로 곱하려는 수와 2개로 나누려고 하는 분모에 있는 수는 계산을 하나마나이기 때문에 약분하면 없어져버립니다.